《2021届高考数学备考优生闯关专题1.7 以恒成立或有解为背景的填空题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高考数学备考优生闯关专题1.7 以恒成立或有解为背景的填空题（解析版）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题一 压轴填空题第七关 以恒成立或有解为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查解决这类问题，主要是运用分离变量法，等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值类型一 分类讨论求函数最值典例1【2020江苏盐城中学月考】已知函数，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据求得的值，由此化简，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得的取值范围【详解】由于函数在上是增函数，所以恒成立，故，即，所以故即
2、在上恒成立，或由得，构造函数，所以在上，递减，在上，递增，最小值为，所以等价于，解得由得由解得根据和的单调性可知，当且仅当时，成立综上所述，的取值范围是，故答案为【名师点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题【举一反三】【2020江苏盐城上学期期中考试】设函数，若对任意的实数a，总存在，使得，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】，当时，恒成立，符合题意当时，由，得或，即或构造函数，所以在区间上递增，在上递减，最大值为故构造函数，所以在区间上递减，在上递增，且，所以
3、的最大值为故+得，即综上所述，的取值范围是故答案为：类型二 参变分离求具体函数最值典例2若存在正数x，y，使得(y-2ex)(lny-lnx)z+x=0（其中e为自然对数的底数），则实数z的取值范围是_【答案】(-，0)1e，+)【解析】由变量分离得1z（yx2e）lnyx（t2e）lnt，（令tyx0），令h(t)（t2e）lnt，（t0），则h(t)lnt+t-2et，h(t)1t+2et2 0，所以h(t)在t(0，+)递增，且h（e）0，h(t)在（0，e）上递减，在（e，+）上递增，h(t)h（e）e，1ze，解得z0或z1e，实数z的取值范围是（，0）1e，+），故答案为：（，0）
4、1e，+）【名师指点】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法构造函数，利用导数法求出函数的极值和最值，利用变量分离求新函数的范围是关键【举一反三】【2020江苏丹靖沭10联考】设，若不等式对于所有满足题设的，均成立，则实数的最大值是_【答案】【解析】因为，所以，即，又因为算数平均数 调和平均数，即 ，即，当且仅当即，即，成等比数列时取等号，故的最大值为4，故填4类型三 数形结合求临界点典例3【2020江苏镇江八校联考】已知函数，若方程恰有两个实数解，且，则实数的取值范围是_【答案】(1，3)【解析】令，化简，设方程的两根为，此时，不合题意，因为，
5、所以，故为与的交点横坐标，由图可知(1，3)故答案为： (1，3)【名师点睛】本题考查方程的零点，转化为函数图像交点的位置关系，根据图像上下关系，确定参数取值范围【举一反三】【2020江苏南通如东中学月考】在三角形中，若对任意的恒成立，则角的取值范围为_【答案】【解析】如图，由，即恒成立，同时除以得：，当且仅当时等号成立，所以，又因，所以，故答案为【精选名校模拟】1【2020江苏扬州上学期期中考试】已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】不等式有且仅有三个整数解，即，即，设函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，要使得，有三个整数解，则，即，故答案为：2【20
6、20江苏淮阴中学上学期期中考试】已知函数，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由，可得，设，则令 ，则，所以在上单调递增由于，所以，所以在单调递减：在单调递增要使不等式的解集中恰有两个整数，即的解集中恰有两个整数，必须解集中的两个整数为2和3所以，解得3【2020江苏淮安四校联考】已知关于的不等式有解，则整数的最小值为_【答案】【解析】构造函数，则，对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，由零点存在定理知，存在，使得当时，；当时，所以，函数在处取得最小值，即，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，所以，当时，使得，因此，整数的最小值为故答案为：4【2020
7、江苏南通调研】己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数的定义域为，且，函数为奇函数，当时，函数，显然此时函数为增函数，函数为定义在上的增函数，不等式即为，在上恒成立，解得，故答案为5【2020江苏沭阳修远中学月考】已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_【答案】【解析】（1）当时，过定点，对称轴为，当时，解得：，所以；当时，在单调递减，且，所以；所以在恒成立，可得（2）当时，恒成立，即恒成立，令，则，当时，所以在单调递增，当时，所以在单调递减，所以综合（1）（2）可得：6【2020江苏泰州上学期开学考试】已知函数，对任意的，恒成立，则的取
8、值范围为_【答案】【解析】由于故函数为奇函数，而为上的增函数，故由，有，所以，即，将主变量看成（），表示一条直线在上纵坐标恒小于零，则有，解得所以填7【2020江苏淮安楚州中学月考】若函数，在上恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】因为恒成立，所以在上恒成立；设，则，因为时，所以8【2020江苏高邮开学考试】已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为_【答案】【解析】由于故函数为奇函数，而为上的增函数，故由，有，所以，即，将主变量看成（），表示一条直线在上纵坐标恒小于零，则有，解得所以填9已知函数f(x)=x-(a+1)lnx-ax(aR，且a1)，g(x)=12x2+ex-xex，若存在x
9、1e，e2，使得对任意x2-2，0，f(x1)g(x2)恒成立，则a的取值范围是_【答案】a(e2-2ee+1，1)【解析】f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=(x-1)(x-a)x2(aR)，当a1时，xe，e2，f(x)0，f(x)为增函数，所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-ae；若存在x1e，e2，使得对任意的x2-2，0，f(x1)g(x2)恒成立，即f(x)ming(x)min，g(x)=x+ex-xex-ex=x(1-ex)，当x-2，0时g(x)0，g(x)为减函数，g(x)min=g(0)=1，e-(a+1)-aee2-2ee+1，a(e2-2ee+1，1)，故
10、答案为：(e2-2ee+1，1)10已知函数fx=xlnx，gx=-x2+ax-3，对一切x0，+，2fxgx恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】-，4【解析】因为2fxgx，代入解析式可得2xlnx-x2+ax-3，分离参数a可得a2lnx+x+3x 令h(x)=2lnx+x+3x（x0 ），则h(x)=x+3x-1x2，令h(x)=0解得x1=-3，x2=1，所以当0x1，h(x)0，所以h（x）在（1，+）上单调递增，所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值所以h（x）h（1）=4因为对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，所以ah（x）min=4所以a的取值范围为-，411
11、【2019江苏宿迁期末考】已知函数fx=ax+ex(a为常数，e为自然对数的底数)，若对任意的x-1，2，fx0恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】-e，1e【解析】由题意，函数fx=ax+ex，则fx=a+ex，x-1，2，当a0时，fx0恒成立，所以函数fx在-1，2上单调递增，所以fxmin=f(-1)=-a+1a0，即0a1e；当a0时，解得xln(-a)，此时函数fx单调递增，当fx0时，解得xln(-a)，此时函数fx单调递减，若ln(-a)=-1，即a=-1e时，若ln(-a)=2，即a=-e2时，当-1ea0时，即ln(-a)-1，函数fx在-1，2上单调递增，所以fxmin
12、=f(2)=2a+e20，此时无解，当-e2a-1e时，-1ln(-a)2，函数fx在-1，ln(-a)上单调递减，在ln(-a)，2上单调递增，所以fxmin=f(ln(-a)=aln(-a)-a0，解得-ea-1e综上所述，可得实数a的取值范围是-e，1e12已知f(x)=xlnx-ax，若x1e，e2，x2e，e2，使f(x1)f(x2)+a成立，则实数a的取值范围是_【答案】4e-14e，+)【解析】若x1e，e2，x2e，e2，使f(x1)f(x2)+a成立，等价于“当xe，e2时，有f（x）maxf（x）max+a”，当xe，e2时，lnx1，2，1lnx12，1，f（x）a+ln
13、x-1lnx2（1lnx12）2+14a，f（x）max+a14，问题等价于：“当xe，e2时，有f（x）max14”，当a14，即a14时，f（x）a+lnx-1lnx2（1lnx12）2+14a0，f（x）在e，e2上为减函数，则f（x）maxf（e）eaee（1a）14，a114e4e-14e，当14a0，即0a14时，xe，e2，1lnx12，1，f（x）a+lnx-1lnx2，由复合函数的单调性知f（x）在e，e2上为增函数，存在唯一x0（e，e2），使f（x0）0且满足：f（x）在e，x0）递减，在（x0，e2递增，f（x）maxf（e）或f（e2），而f（e2）e22ae2，故e22ae214，解得：a1214e2，无解舍去综上，实数a的取值范围为4e-14e，+)，故答案为：4e-14e，+)13设函数f(x)=2x-ax2，若对任意x1(-，0)，总存在x22，+)，使得f(x2) f(x1)，则实数a的取值范围_【答案】0，1【解析】由题意，对任意x1(-，0)，总存在x22，+)，使得f(x2) f(x1)，即当任意x1(-，0)，总存在x22，+)，使得f(x2)min f(x1)m
