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1、空间解析几何,数量关系 ,第一部分 向量代数,第二部分 空间曲面和曲线,在几何空间中:,空间对象 点, 线, 面,基本工具 ：向量代数,坐标,方程组,目录,方程,1,向量及其线性运算,2,向量的内积 外积与混合积,4,空间曲线及其方程,5,平面及其方程,6,空间直线方程,目录,3,曲面及其方程,1,向量概念,2,向量的线性运算,4,利用坐标作向量运算,5,向量的模与方向角,第一节向量及其线性运算,3,空间直角坐标系,向量：,既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力等。,向量表示：,模长为1的向量.,模长为0 的向量.,向量的模：,向量的大小.,或,或,一、向量的概念,1、概念,单位向量
2、：,零向量:,一、向量的概念,1、概念,自由向量：,与起点无关的向量，可平行移动.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.,一、向量的概念,2、两非零向量的关系,相等：,大小相等且方向相同的向量.,平行或共线：,方向相同或相反的两个非零向量.,垂直：,方向成90夹角的两个非零向量.,注意：,由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都平行或垂直。,一、向量的概念,2、两非零向量的关系,共面：,把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.,1、向量的加减
3、法,二、向量的线性运算, 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,向量的加法符合下列运算规律：,交换律：,结合律：,加负律：,(2) 减法,二、向量的线性运算,2、向量与数的乘法,二、向量的线性运算, 定义：,数与向量的乘积符合下列运算规律：,结合律：,分配律：,向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。,例1 化简,解,二、向量的线性运算,例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,按照向量与数的乘积的规定，,向量单位化：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,二、向量的线性运算,(
4、2)单位向量的表示,(3) 两个向量的平行关系（共线定理）,二、向量的线性运算,证:,充分性显然；,下面证明必要性,两式相减，得,证毕,注：此定理是建立数轴和坐标的理论依据.,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,1、坐标系的构成,坐标原点：定点O 坐标轴：以O为原点的三条相互垂直的数轴 横轴( 轴)、纵轴( 轴)、竖轴( 轴),三个坐标轴的正方向要符合右手系： 以右手握住 轴，当右手的四个手指从 正向 轴以 角度转向正向 轴时， 大拇指的指向是 轴的正向.,横轴,纵轴,竖轴,这三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系，记为Oxyz.,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,三、空间直角坐标系,
5、2、点、向量与坐标,三、空间直角坐标系,设 是以坐标原点为起点，M为终点的向量，,在空间直角坐标系Oxyz的三条轴的正方向分别取三个单位向量 称为基本单位向量.,称有序数组 为向量 或点M的坐标，简记为 或 .,加法,1、向量的加减法与数乘,四、利用坐标作向量的线性运算,减法,数乘,2、平行向量的坐标表示式,若某个分母为0，则相应的分子也为0,四、利用坐标作向量的线性运算,解,例3 求解以向量为未知元的线性方程组,解二元一次方程组，易得,四、利用坐标作向量的线性运算,例4 已知两点A(x1,y1,z1) 和B (x2,y2,z2) 以及实数 -1，在直线AB上求点M，使,解,注意： 点的坐标是
6、向径的坐标， 向量的坐标是端点坐标之差。,由题意知：,四、利用坐标作向量的线性运算,向量的模:,1、向量的模与两点间的距离公式:,五、向量的模、方向角、投影,按勾股定理可得,五、向量的模、方向角、投影,两点间的距离公式:,五、向量的模、方向角、投影,解,原结论成立.,五、向量的模、方向角、投影,解,解,设P点坐标为,所求点为,五、向量的模、方向角、投影,2、方向角与方向余弦,五、向量的模、方向角、投影,空间两向量的夹角的概念:,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.,五、
7、向量的模、方向角、投影,方向角,显然有,方向余弦,由图分析可知,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量的方向余弦,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,五、向量的模、方向角、投影,例8 已知A(3,3,1) 和B (1,5,1) , 计算,解,解,五、向量的模、方向角、投影,五、向量的模、方向角、投影,3、向量在轴上的投影,向量在轴上的投影是 数,五、向量的模、方向角、投影,向量在三坐标轴上的投影,向量投影的性质,解,五、向量的模、方向角、投影,一、向量概念,1、概念,2、两非零向量的关系,二、向量的线性运算,1、向量的加减法,2、向量与数的乘法,三、空间直角坐标系,1、坐标系的构成,
8、2、点、向量与坐标,四、利用坐标作向量的线性运算,1、向量的加减法与数乘,2、平行向量的坐标表示,五、向量的模,方向角,投影,1、模与距离公式,2、方向角与方向余弦,3、向量在轴上的投影,六、小结,1,向量的内积,2,向量的外积,第二节向量的内积 外积与混合积,3,向量的混合积,一、向量的内积,其中 表示 与 的夹角.,启示,实例,两向量作这样的运算可以得到一个数量.,一、向量的内积,记为 .,为 与 的内积、点积或数量积，记作 或 ,其中 为向量 与 的夹角，,定义,设 和 是两个向量，则称,即,注 两向量的内积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,内积的性质：,证
9、,证,一、向量的内积,内积符合下列运算规律：,(1) 交换律：,(2) 分配律：,若 、 为数，则,一、向量的内积,内积的坐标表达式,一、向量的内积,设在空间直角坐标系Oxyz中， 为基本单位向量，,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件：,一、向量的内积,解,一、向量的内积,证,一、向量的内积,二、向量的外积,启示,实例,两向量作这样的运算可以得到一个向量.,二、向量的外积,定义,设 和 是两个向量，若向量 满足：,则称 为 与 的外积、叉积或向量积，记作 .,特殊地，当两个向量中有一个是零向量时，规定 .,外积的性质：,二、向量的外积,证,/,/,(3),外积符合下列运算
10、规律：,(1),(2) 分配律：,二、向量的外积,外积的坐标表达式,二、向量的外积,设在空间直角坐标系Oxyz中， 为基本单位向量，,还可用三阶行列式表示,由上式也可推出,二、向量的外积,解,二、向量的外积,二、向量的外积,解,三角形ABC的面积为,例4,解,二、向量的外积,三、向量的混合积,定义,设 是三个向量，则称数量积 为 向量 的混合积，记作 或 .,三、向量的混合积,设在空间直角坐标系Oxyz中， 为基本单位向量，,混合积的坐标表达式,混合积的性质：,三、向量的混合积,的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体的体积.,若 组成右手系（如上图），则,解,例6,三、向量的混合积,解,三、向量
11、的混合积,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,三、向量的混合积,例 8 已知向量 , , ,解,(1) 求证,(2) 当 与 的夹角 为何值时ADB 的面积最大?,(1),三、向量的混合积,(2),当 , 即 或 时, ADB 的面积最大.,三、向量的混合积,几何关系,向量的 代数运算,坐标关系,设三个非零向量,向量代数的意义,1,平面的点法式方程,2,平面的一般方程,第三节平面及其方程,3,两平面的夹角,4,点到平面的距离,取定三维空间中的一个直角坐标系，如果空间中的几何图形 S 与三元方程 F( x, y, z ) = 0 具有下述关系：,(1) 图形 S 上的任意点的坐标都满足此方
12、程，,则 F( x, y, z ) = 0 叫作 S 的方程,S 叫作方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,(2) 所有坐标满足此方程的点都在图形 S 上,图形及其方程,一、平面的点法式方程,则必有 ，从而,设平面通过点 ，并且垂直于非零向量 ，下面建立平面的方程.,设平面上的任一点为 ，,称垂直于平面的非零向量 为该平面的法向量,平面的点法式方程,由于,因此,解,取,所求平面方程为,化简得,一、平面的点法式方程,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,二平面的法向量分别为,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,由平面的点法式方程,平面的 一般方程,法向量,（三元一次方程）,二、
13、平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点.,二、平面的一般方程,平面通过x轴；,平面平行于x轴.,类似地可讨论：,平面平行于 或通过y轴；,平面平行于 或通过z轴.,二、平面的一般方程,平面平行于xOy坐标平面.,类似地可讨论：,平面平行于yOz坐标面.,平面平行于zOx坐标面；,（常数）,二、平面的一般方程,令,代入,可得,平面的 截距式方程,二、平面的一般方程,设 是空间中 不在同一直线上的三点，则可以建立过这三点 的平面方程：,则向量 共面，从而混合积,设平面上的任一点为 ，,平面的 三点式方程,即,二、平面的一般方程,设此平面方程为,由平面过原点知 .,故所求平面
14、方程为,解,例3,法向量,三、两平面的夹角,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 通常规定平面夹角为锐角，即 .,定义,三、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面位置特征：,/,两平面夹角余弦公式,例4,解,故夹角,三、两平面的夹角,例5 一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1)， 且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.,解 设所求平面为：A(x1)+B(y1)+C(z1)=0,三、两平面的夹角,例5 一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1)， 且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.,三、两平面的夹角,四、点到平面的距离,设 是平面 外一点， 点 到平面
15、 的距离为d，则,四、点到平面的距离,由,可得,点到平面距离公式,1.平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,2.两平面的夹角.,3.点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,五、小结,三点式方程.,思考题,两平面平行,两平面重合.,解,解,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,1,空间直线的一般方程,2,直线的对称方程与参数方程,第四节空间直线方程,3,两直线的夹角,4,直线与平面的夹角,5,6,7,点到直线的距离,异面直线间的距离,平面束方程,一、空间直线的一般方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线 的一般方程,直线L的方程为,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,二、空间直线的对称式与参数方程,则必有 ，从而,设直线L通过点 ，并且平行于非零向量 ，下面建立直线L的方程.,设直线上的任一点为 ，,称平行于直线的非零向量 为该直线的方向向量,直线的 点向式方程或对称式方程,由于,因此,二、空间直线的对称式与参数方程,注,在直线的点向式方
