《2015届高考数学二轮解题方法篇 专题3 解题策略 第3讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学二轮解题方法篇 专题3 解题策略 第3讲（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库第 3 讲换元法在解题中的应用方法精要 一般而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法称为换元法某些数学问题通过这种换元，往往可以暴露已知与未知之间被表面形式覆盖着的实质，发现解题途径换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理换元法又称辅助元素法、变量代换法，其特点是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变为熟悉的形式高
2、中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有广泛的应用题型一换元法求函数的解析式例 1已知 f(1x，求 f(x)破题切入点通过引入参数，令 1t，将原式转化为含有 t 的式子，从而得到函数 f(x)的表达式，特别注意写出函数 f(x)的定义域解令 1t，则 t0,2，所以 t，所以 f(t)x1中教学课件尽在金锄头文库1(1t) 2 t，所以 f(x)x 22x (0x 2)题型二换元法在不等式中的应用例 2已知 a，b，cR ，且 abc1，求证： 3 1 3b 1 3c 1
3、 2破题切入点换元法在不等式中的应用主要体现在不等式的证明中，把原不等式中的参数用某一个或几个量表示，然后利用取值范围进行比较证明设 k，3a 1 3b 1 3c 1再设 t 1， t 2，3a 1b 1 t 3，其中 t1t 2t 30，3c 1a13b13c1( t 1)2( t 2)2( t 3)2，k3 k3 k(t1t 2t 3)t t 3 21 2 23 (t t t )，1 2 236 ，解得 k3 ， 3 1 3b 1 3c 1 2题型三换元法在三角函数中的应用例 3已知函数 y22xx0， ，求函数的最大值和最小值2破题切入点题目中的未知量较多，解题时选择适当的三角函数式作为
4、辅助未知量，可以利用正弦与余弦之间的关系，设 xt ，则 2t 21，把题目中较多的未知量通过换元用一个未知量表示，并根据这个未知量的范围解决最值问题解令 xt，因为 x0， ，2所以 t1， ，2由(x)2t 2得 2t 21，所以原函数变为 yt 2t1，t 1 ， ，2最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库因为 yt 2t1 的对称轴是 t ，12所以函数 yt 2t1 在 t1， 上单调递增2所以 t 时函数有最大值 )2 13 ；t1 时函数有最小值 2 2总结提高换元法不仅是重要的解题方法，也是解高考题的热点方法之一，掌握它的关键在于通过观察、联想发现构造出变换式，常见的基本换元
5、形式有等式代换、三角代换、均值代换、和差代换等1已知 f( )2x，则函数 f(x)的解析式是()1 xAf(x)2x 2 Bf(x)22x 2Cf(x)22x 2(x0) Df(x)x 2答案 t，t0，则 x1t 2，1 f(t)22t 2(t0)所以 f(x)22x 2(x0)2已知函数 f(x)( a，bR)，f(lg(10)5，则 f(lg(等于()A5B1C3D4答案为 为倒数，所以 lg( lg(为相反数不妨令 lg(x ，则 lg(x，而 f(x)f(x)x4a(x )3b x )48，故 f(x )8f(x )85函数 yf( x)的值域是 ，3 ，则函数 F(x)f(x)
6、的值域是()12 1fxA ，3 B2， C ， D3， 12 103 52 103 103答案中教学课件尽在金锄头文库解析令 tf(x)，则 t ， 3，12则 F(x)f( x) 可化为 yt ，t ，3，1fx 1t 12易知，当 t1 时，y 有最小值 2，当 t3 时，y 有最大值 (x)的值域为2， 1034函数 f(x3 的最小值为( )A2 B0 C D614答案 t则 f(t)t 23t 2，t1,1 ，所以有 f(t)(t )2 4结合二次函数的单调性，可知当 t1 时，函数 f(t)有最小值即为 果 f( ) ，则当 x0 且 x1 时，f (x)等于( )1x B. C
7、. D. 11x 1x 1 11 x 1解析令 t ，得 x ，f(t) ，1x 11t 1t 1f(x) 16若 x 是三角形的最小内角，则函数 yxx 的最大值是()A1 B. 2C D. 12 2 12 2答案中教学课件尽在金锄头文库解析由 00，32即(m) 2 0 恒成立32令 tf( t)(tm) 2m 2 (1t1)32若 m ，52 54所以 1，则当 t1 时，f(t)有最小值 f(1) 2m ，52所以 2m0，即 1mm 的取值范围是 m 410在平面直角坐标系 ，点 P(x，y )是椭圆 y 21 上的一个动点，求 Sxy 的最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库解根
8、据分析，令 y x 故可设动点 P 的坐标为( ，其中 0 xy 32( 2 122 )3所以当 时，S 取最大值 函数 f(x)4 xa2 xa1 在( ，)上存在零点，求实数 a 的取值范围解方法一设 2xt，则函数 f(x)4 xa2 xa1化为 g(t)t 2ata1( t(0 ，)函数 f(x)4 xa2 xa1 在( ，)上存在零点，等价于方程 t2ata10，有正实数根(1)当方程有两个正实根时，a 应满足得：1 a22 ；2(2)方程有一正根一负根时，只需 t1t2a10，即 a1；(3)方程有一根为 0 时，a1，此时方程的另一根为 a22 g(t)t 2ata1( t(0 ，)(1)当函数 g(t)在(0，)上存在两个零点时，实数 a 应满足得1a22 )当函数 g(t)在(0，)上存在一个零点，另一个零点在(，0)时，实数 a 应满足 g(0)a10，最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库解得 a1.(3)当函数 g(t)的一个零点是 0 时，g(0)a10，a1，此时可以求得函数 g(t)的另一个零点是 )(2)(3)知 a22 .2
