《函数奇偶性周期性对称性的关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数奇偶性周期性对称性的关系（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、河南省郸城希 望高中 樊战胜欢迎交流 qq： 375081029 email： m a t h f a nm a t h f a nq qq q.c omc om函数 的三 种性 质之 间的 转化函数是整个高中数学的重中之重，而且它通常作为知识网络的交汇点形成综合性问题，其中以函数的奇偶性，周期性，对称性和 函数的单调性结合的综合 运算题目， 一直是高考 考察的难点 问题，所 以必须引起 我们的注意 ，笔者根据自己 的多年的 讲解，现 将三者之 间的关系 归纳如 下：1 .1 .基础知识：函数的奇偶性 ： 如果对于函 数 ff(xx)定义域内的任意 xx都 有 ff( xx)= ff(xx)，
2、则 称ff(xx)为奇函数； 如 果对于函数 ff(xx)定义域内的任意 xx都 有 ff( xx)=ff(xx)， 则称 ff(xx)为偶函数。函 数 的 周 期 性 ： 若 TT为 非 零 常 数 ， 对 于 定 义 域 内 的 任 一 xx， 使恒成立 。)()( xfTxf 另外，根据函 数的性质 的定义， 我们好要 熟记常见 的结论 。( ) ( ) 21( ) 2( )1( ) 2( )f x a f x T af x a T af xf x a T af x 函数的对称性： 如果对于函 数 ff(xx)定义域内的任 意 xx都 有 ff(aa xx)=ff(aa+xx)，则函 数
3、 ff(xx)关于直 线 xx= a= a对 称 。 一 般 的， 如果对于函 数 ff(xx)定 义域 内 的 任 意 xx都 有 ff(aa xx)=ff(bb+xx)， 则 函 数 ff(xx)关 于 直 线对称。2a bx 函 数 的 三 种 性 质 的 掌 握 是 学 生 学 习 的 难 点 。 特 别 是 题 目 中 出 现 ff(aaxx)=ff(bb+xx)或 者 ff(aa+xx)=ff(bb+xx)这样长的很像 的已知条 件， 学生更 容易出错 ， 其 实根据 定义，函 数周期性 中 xx的符 号是一致 的，就是 说 xx同为 正或者同 为负。河南省郸城希 望高中 樊战胜欢
4、迎交流 qq： 375081029 email： m a t h f a nm a t h f a nq qq q.c omc om而函 数的对 称 性 xx的符 号恰好 相反， 所 以 ff(aa xx)=ff(bb+xx）揭 示的是 对称轴 ，而 ff(aa+xx)=ff(bb+xx)则可以转化为 周期。2 .2 .三者之间的关 系通过这几年的讲解，笔者发现其实这三者之间是可以相互转化的。给出一下三组结论 ：结 论 1 . 1 ： 如果函 数 ff(xx)是 以 aa为周期的偶函 数， 则 ff(xx)关于直线 对 称 。2ax 结 论 1 . 2 ： 如果函 数 ff(xx)是 以 aa
5、为周期的奇函 数， 则 ff(xx)关于直线 对 称 。4ax 结 论 2 . 1 ： 如果函 数 ff(xx)是关于直线 对称的 偶函数， 则 ff(xx)以 22aa为周期x a的周期函数 。结 论 2 . 2 ： 如果函 数 ff(xx)是关于直线 对称的 奇函数， 则 ff(xx)以 44aa为周期的周期函数 。结 论 3 ： 如果函 数 ff(xx)是关于直线 对称且 以 b 为周期的周期 函数，则当 2 aa= k b 时，函数为偶 函数。 当 4 aa= k b 时，函数为及 函数。其中 k 为 整 数 。证明略。3 . 例题讲解例 1 、（ 2 0 0 7 年安徽理科 第 1
6、11 1题 ） 定义在 上的函数 既是奇函数， 又是 周RR( )f x期函数， 是它的一个正周期若将方程 在闭区间 上的根的个T ( ) 0f x T T ，数记为 ，则 可能为（ ）n nAA 00BB 11CC 33DD 55解析：因为函 数是以 为周期的周期 函数，所 以 ，又可以 写 成T f x f x T ，又因为 ，所以 ，则函数 2Tf x f x f x f x 2Tf x f x 关于直线 对称。 又 ，所以4Tx 0 0f ( 0 ) 02 2T Tf f f 河南省郸城希 望高中 樊战胜欢迎交流 qq： 375081029 email： m a t h f a nm
7、a t h f a nq qq q.c omc om例 2 、 （ 2 0 0 7 年 天津 理科 第 7 题 ）在 上定 义 的 函 数 是偶 函 数 ， 且R xf，若 在区间 是减函 数，则函 数 （ ） 2f x f x xf 2,1 xfA . 在区间 上是增函 数， 区间 上是增函 数 1,2 4,3B . 在区间 上是增函 数， 区间 上是减函 数 1,2 4,3C . 在区间 上是减函 数， 区间 上是增函 数 1,2 4,3D . 在区间 上是减函 数， 区间 上是减函 数 1,2 4,3解析： 因为 ，所以 函数关于直线 对称， 又 函数 是偶 2f x f x 1x xf
8、函数， 所以 ，周 期 = 2= 2。 2f x f x T例 33、 、 、（ 2 0 0 6 年 福 建 卷 文 科 第 1 2 题 ） 已 知 是 周 期 为 22的 奇 函 数 ， 当( )f x时， 设 则0 1x ( ) l g .f x x 6 3( ) , ( ) ,5 2a f b f 5( ) ,2c f（ AA） （ BB）a b c b a c （ CC） （ DD）c b a c a b 解 析 ： 函 数 的 周 期 是 22， 所 以 ， 又 是 奇 函 数 ， 所 以 1f x f x ，所以 所以函 数关于直线 对称 1f x f x 12x 例 4 （ 2
9、0 0 6 年 山东卷 理科 第 6 题 ）解析： f ( x ) 满 足 f ( x + 2 ) = f ( x ) ，所以周期 是 4 . 关于 直线 对称。1x 以上几例笔者仅仅是从函数的三种性质的转化中做一解析，如果我们编题目 时不注意三种性 质之间 的关系 ，就会出 现错误。如： 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x + 1 ) = f ( x ) , 当 时 ，1 2x 则 f ( 4 . 5 ) = A . 0 . 5 B . - 0 . 5 C . 1 . 5 D . - 1 . 5( ) .f x x给出三种关系 ，希望对 大家的教 学有帮助 。
