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1、,浅谈框架问题思维法 在解决问题教学中的应用,昆明市盘龙区金康园小学周佳泉 2017年11月,从画一幅画说起。,前 言,A同学作品,原图,B同学作品,原图,A同学作品,B同学作品,谁画得更像?,为什么B同学画得比较像? 因为B同学用了“框架”,大体的位置和比例关系处理得更好。,1.学生的苦恼: (1)数量关系不明确 (2)找不到中间条件 (3)情境远离学生生活 (4)解题的步骤混乱 总体来说:就是缺少对问题的一个“整体感知”,一、小学数学解决问题教学现状,2.教师的对策 对策一:依托生活经验 优点:数学生活化,简单易懂 局限:生活经验对数学的负迁移作用 例:岸上原来有11只青蛙,跳进水里一些后
2、,岸上还剩下4只。跳进水里多少只? 学生解答:1174(只)答:跳进水里7只。,原因分析: (1)在部分学生心目中,减法就是“减少”。 (2)生活事件中,“青蛙跳水”分为三个阶段 三个阶段存在因果关系,不能颠倒。,11只,?只,4只,而在数学上: 青蛙的总数是一个集合,由两个子集组成岸上的和水里的。 两个子集地位平等,不存在因果关系; 无“间隙”对接,非此即彼。因此,用总数减去其中任何一个部分都得另一个部分。 这就说明: 生活经验数学方法,对策二:用综合法或分析法 优点:思维缜密,逻辑性强 局限:步骤繁琐,眼花缭乱 例:一项工程,甲队独做需要10天,乙队独做需要15天。现在甲队先做4天,余下的
3、两队合作,还需要多少天?,分析法:(倒推法),综合法:(顺推法),对策三:找条件和问题,中间“贴地砖” 优点:方向明确,简洁高效 局限:有时候会进入“死胡同”,例:王芳买了2瓶墨水和5本笔记本,墨水的单价是笔记本的1.5倍。她付给售货员100元,发现用去的钱正好是剩下的钱的4倍。墨水和笔记本的单价各是多少元? 对于学生来说: 5个已知条件似乎都无法与问题挂勾(隐蔽性太大),1.我们也来画个“框架”,把问题套进去。 例1:一项工程,甲队独做需要10天,乙队独做需要15天。现在甲队先做4天,余下的两队合作,还需要多少天?,二、框架问题思维法的尝试应用,首先想: 两个队是如何完成这项工作的? 合做,
4、只是做的时间不同。 即:甲工程量乙工程量工程总量, 用方程表示为(设还要X天): (4X) X1,例2:一项件工作,师傅独做要8天,徒弟独做要12天。师徒二人合做了若干天后,师傅去出差。师傅回来后又和徒弟一起做。这样一共用了9天才完成这项工作。师傅出差了几天?,同样用上面的“框架”来装问题:,师傅做的徒弟做的工作总量,设师傅实际做了X天,9 X1,X2,927(天),答:师傅出差了7天。,例3:王芳买了2瓶墨水和5本笔记本,墨水的单价是笔记本的1.5倍。她付给售货员100元,发现用去的钱正好是剩下的钱的4倍。墨水和笔记本的单价各是多少元? 首先想: 讲了一件什么事? 买东西,还剩钱。 钱是怎样
5、剩下的? 总数用去的剩下的,“填空”(设剩下的钱为X) 总数用去的剩下的 用去:20480元 再追问:这80元是怎样用去的? 墨水钱笔记本钱用去的钱,100,4X,X,X,20,(继续填空),5Y,1.5Y2,80,例4:李白提壶街上走,遇店加一倍,遇花喝一斗。三遇店和花,喝干壶中酒。李白原有几斗酒? 首先想: 李白干什么事? 两件事,加酒,喝酒。 两件事有顺序吗? 先加,再喝。三个回合以后,酒喝完了。,明白了: 加酒,喝酒,又加酒,又喝酒,再加酒,再喝酒。最后“等于0”。 一遇: 二遇: 三遇: 解方程得:,X22X,2X1Y,Y22Y,2Y1Z,Z22Z,2Z10,Z0.5,代入方程二,Y
6、0.75,代入方程一,X0.875,例5:著名的“牛吃草”问题 一个牧场的草保持匀速生长。这些草够30头牛吃5天,或够16头牛吃12天。请问这些草够21头牛吃几天? 传统解法:假设每头牛每天吃“1”根草 第一组牛共吃草: 第二组牛共吃草: 第二组比第一组多吃: 说明每天长出“新草”: 原有“老草”:,3051150(根),16121192(根),19215042(根),42(125)6(根),192126120(根),重新整理思路: 假设每头牛每天吃“1”根草 原有“老草”120根,每天长出“新草”6根; 于是:专门派出6头牛吃“新草”,剩下的牛吃“老草”:,21615(头),120158(天
7、),晕,用框架思维法思考: 一个牧场的草保持匀速生长。这些草够30头牛吃5天,或够16头牛吃12天。请问这些草够21头牛吃几天?,老草1老草2,设每天长出X根新草,30515X 1612112X,30515621Y16Y,总草1新草1总草2新草2,X 6,设第三组牛可以吃Y天,Y8,例6 用一根绳子测量一口井。三折来量,井外余4米,四折来量,井外余3米。井深和绳长各是多少米? 找到不变量:绳长(也可以是井深) 基本数量关系: 每折绳长折数绳长 绳长1绳长2 (设井深为X) (X4)3(X1)4 X8,绳长(84)336(米),2.什么是框架问题? 就是在解题过程中处于核心地位、能影响全局的、能
8、使学习者明确活动“边界”的“整体问题”。 3.什么是框架思维法? 框架思维法,是从整体出发考虑,并用尽量简洁的形式描述问题的一种思维方式。,链接: 数学原理的应用常常是以生活化的方式给问题,从事物之间的相互关系构建出数量之间的相互关系。 这类问题的解决,需要学生有一定的生活常识,并根据数量之间的相互关系构建出一个问题框架(数学模型),问题所涉及的范围就成为这个框架的边界。这就如同把问题关进了解题方法的笼子里。,1.抓大放小,不纠缠细节; 2.变逆为顺,顺应原认知; 3.拦腰截断,不管头和尾; 4.做好框架,往里填东西。,三、善用框架问题思维法,补充知识:学生学习水平发展的几个阶梯 我们通常认为学生的学习能力层次:,读书真难!理解学生,获取信息,明确含义,信息输出,听懂,能模仿 再现,能判断正误,能校正错误,明确行动程序,区分关键步骤与非关键步骤,简化,预知结果趋势或范围,学会,能处理“例外”情况,能与旧知进行横向与纵向联系,熟练,通达,大道至简 小技巧繁 任他眼花缭乱 我只一剑封喉,