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1、 关于缓和曲线平行线的探讨薄志毅(北京煤炭工业学校 100042)【摘 要】 本文推导了缓和曲线平行线上的点位坐标参数方程，从而为正确测设缓和曲线平行线提供了理论依据，并探讨了缓和曲线平行线的详细测设方法。在公路建设工程中，应用该法可取得较好的效果。一、前 言城市道路建设过程中，经常遇到缓和曲线型的道路。缓和曲线线型有多种，目前公路建设中，我国采用的是辐射螺旋线。公路的中线为缓和曲线，则其边线按设计要求一般为缓和曲线(中线)的平行线。在实际工作中，存在一些错误认识，将道路边线当作缓和曲线来测设，即套用缓和曲线的计算公式。本文首先论证了该方法的错误所在，然后严密地推导了缓和曲线平行线上点位坐标的
2、参数方程，并提出了缓和曲线平行线(道路的边线)详细测设方法，在实际应用中取得了较好的效果。二、缓和曲线平行线不是缓和曲线缓和曲线的平行线不是缓和曲线，或者严格地说不再是辐射螺旋线。如图 1 所示，缓和曲线的起点为 ST，图 1 终点为 CS。缓和曲线上任意一点的曲率半径&rho，与该点到缓和曲线起点的曲线长度 l 成反比，即(1)式中，R 为圆曲线半径，l 为缓和曲线总长。设缓和曲线上任意一点的切线和曲线起点切线的交角为&beta，简称切线角。&beta 角的计算公式为：(2)如图 1 所示，另外一条曲线是缓和曲线的平行线，起点为 ST&prime，终点为 CS&prime，其上任意一点曲率半
3、径为&rho&prime，任意一点到起点 ST&prime 的曲线长度为 l&prime。下面推导&rho&prime 与l&prime 之间的关系式。由曲线的性质，可知：式中，D 为中线与边线的间距，将(1)式代入上式得 (3)切线角&beta 的微分 d&beta 与曲线长微分 dl 及 dl&prime 存在下面关系： 整理上式，得将(1)、(3)两式代入上式，得对上式进行积分，得(4)由上式解方程，可得(5)将(5)式代入(3)式，得&rho&prime 与 l&prime 的关系式：(6)对上式进行分析，显然&rho&prime 与 l&prime 不成反比，因此缓和曲线的平行线不具
4、备缓和曲线的特性，从而从理论上证明了缓和曲线平行线不再是缓和曲线。这一点在实际工作中，也可以得到证实。三、重新推导缓和曲线上任意一点点位坐标参数方程在有关文献中，对缓和曲线上任意一点 p 的直角坐标公式都进行了推证，公式中的参数是曲线长度 l。其具体表达式为：(8)为推导缓和曲线平行线上任一点点位坐标之需，下面以切线角&beta 为参数，推导缓和曲线上任意一点 p 的直角坐标公式。由图 1 中可以看出，缓和曲线上任意一点 p 的曲线微分 dl 与对应的 dx 及 dy 的关系式如下：(10)曲线微分 dl 与切线角&beta 的微分 d&beta 的关系如下：(11)将(1)、(2)两式代入(
5、11)式，得(12)将(12)式代入(9)、(10)两式，得以切线角&beta 作为积分变量，对上面两式进行积分，得(14)将 cos&beta 与 sin&beta 按麦克劳林公式展开：(16)将(15)式代入(13)式，得(17)将(16)式代入(14)式，得(18)将(2)式分别代入(17)、(18)两式，可得出与(7)、(8)两式相同的结果。四、推导缓和曲线平行线上任意一点点位坐标参数方程如图 1 所示，坐标系统不变。在边线上任取一曲线微分dl&prime，dl&prime 与 dx、dy 的关系如下：曲线微分 dl&prime 与切线角微分 d&beta 的关系如下：将(1)、(2)
6、两式代入上式，得(21)将(21)式代入(19)、(20)两式，得(22)(23)对(22)式取定积分，得边线上任意一点 q 的纵坐标 xq：(24)将(13)式代入(24)式，得(25)将(7)、(2)两式代入上式，得(26)对(23)式取定积分，并考虑到边线起点的横坐标为 y=-D，则有：(27)将(14)式代入上式，得(28)将(8)、(2)两式代入上式，得(29)(26)、(29)两式，就是缓和曲线平行线上任意一点坐标的参数方程，其参数是缓和曲线长度 l。利用缓和曲线长 l 和平行线曲线长度l&prime 之间的关系，即利用公式(5)，也可将(26)、(29)两式中的参数转换成平行线的
7、长度 l&prime。实际上，对图 1 认真分析，根据曲线的几何意义，也可以很容易推导出公式(26)、(29)。道路的两侧都有边线(缓和曲线的平行线)，另一侧边线(即内边线)上任意一点坐标的参数方程，其形式与(26)、(29) 两公式一样，只是 D 的取值为负。即当&rho&prime&rho 时，D 取正值；当&rho&prime&rho 时，D 取负值。有了公式(26)、(29)，就可以正确地测设道路边线。五、缓和曲线型路段的边线测设中线为缓和曲线的道路，其边线一般为曲线的平行线。依据公式(26)、(29)，边线的测设有多种方法。这里只探讨偏角法，就是将经纬仪安置在边线起点 ST&prim
8、e 上，以切线 ST&prime-TP&prime 为零方向，根据弦切角&Delta i和弦长 Ci来标定边线上各点。如图 2 所示，欲测设边线上 1 点和 2 点。可以在 ST&prime 点安置经纬仪，以 ST&prime-TP&prime 方向作为零方向，拨出偏角&Delta ，沿视线方向量取弦长C ，即得放样点 1。继续拨偏角，使总偏角值为&Delta 2，由 1 点向前量取弦长 C 与仪器视线的交点，即为放样点 2。图 2图 2 设边线上 i 点的偏角为&Delta i，i 点到 i-1 点的弦长为 Ci，由于弦长与弧长之差很小，计算弦长时，近似用弧长代替。下面求解&Delta i和
9、 Ci的计算公式。边线上 i 点的偏角&Delta i为：根据公式(26)、(29)，将 xi、y i计算公式代入上式，得(30)i 点到 i-1 点的弦长 Ci为：将公式(4)代入上式，得(31)公式(30)、(31)，即是&Delta i和 Ci的计算公式，是以缓和曲线长 li为参数。利用公式(5)也可以将公式(30)、(31)中的参数转换成li&prime。六、实 例下面以一个实际工作中的例子，说明偏角法边线测设的方法。如图 3所示，某段道路中线为缓和曲线，缓和曲线起点 ST 的桩号为3+161.48，终点 CS 的桩号为 3+217.04，与之相接的圆曲线的半径R180 m。中线的边线
10、起点为 ST&prime，终点为 CS&prime。中线距边线间距为 D8 m。要求测设边线。一般在边线测设前，道路中线已测设完毕。本例中，3+161.48，3+170，3+180，3+190，3+200，3+210，3+217.04 各桩点已测设完毕。在边线上，取与中线各点相对应的点，也就是边线上与中线点同一法线上的点。例如，170&prime 点与 170 点相对应。图 31. 准备标定数据缓和曲线全长 l 217.04-161.4855.56 m，利用公式(30)、(31)计算边线上各桩点的偏角&Delta i及与之对应的弦线长 Ci，其结果见表1。2. 实地标定首先将经纬仪安置在缓和曲
11、线起点 ST 点上，以切线为零方向，拨直角沿视线方向量取 D8m，获得边线起点 ST&prime。然后，在边线起点ST&prime 上安置经纬仪，以切线 ST&prime-TP&prime 方向为零方向，并使度盘读数为零，拨偏角 004&prime26&Prime，沿视线方向自ST&prime 点量取 8.549 m，得边线上表 1 边线上各点的标定数据边线点名 中桩弧长 l /m 偏角&Delta i / &prime &Prime 弦线长 ci/m161.48&prime(ST&prime) 0.000 0 00 00 0.000170&prime 8.520 0 04 26 8.5491
12、80&prime 18.520 0 19 43 10.108190&prime 28.520 0 46 50 10.188200&prime 38.520 1 25 22 10.268210&prime 48.520 2 16 12 10.348217.04&prime(CS&prime) 55.560 2 58 46 7.334170&prime 点。拨偏角 019&prime43&Prime(即度盘上读数为 019&prime43&Prime)，从 170&prime 点起向前量取弦长 10.108 m，与经纬仪视线相交，得边线上 180&prime 点。同法可测设其余各点，一直到 CS&
13、prime 点。用钢尺量 170&prime 点到 170 点的距离，其距离应为8 m，用此方法作为检核测量。其它边线点的检核方法同理。3. 计算边线上点位坐标错误的计算方法是，将边线看作缓和曲线，按照缓和曲线上点位坐标计算公式来计算边线上点位坐标。即按照下面的公式：正确的计算边线上任意一点坐标的公式，就是本文推导的公式(26)、(29)。按照不同公式的计算结果列于表 2。对表 2 进行分析，点位坐标差值主要体现在 y 值上，即主要体现在与曲线切线相垂直方向上。越靠近边线终点，差值越大。200&prime 点的正确 y 值与错误 y 值之差已达 0.037 m，终点 y 值之差达 0.089
14、m。公路施工质量要求，实际路宽与设计值之差不超过 0.020 m。显然，采用错误计算方法计算点位坐标，对于有的点来说，其点位精度不能满足工程质量要求。表 2 依据不同计算公式计算边线上点位坐标边线点名中桩弧长/m边桩弧长/m正确 x / m错误 x / m差值&Deltax /m正确 y / m错误 y / m差值&Deltay /m161.48&prime(ST&prime) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -8.000 -8.000 0.000170&prime 8.520 8.549 8.520 8.549 -0.029 -7.989 -7.990 +0.00
15、1180&prime 18.520 18.657 18.657 18.656 +0.001 -7.893 -7.899 +0.006190&prime 28.520 28.845 28.841 28.841 0.000 -7.607 -7.625 +0.018200&prime 38.520 39.113 39.092 39.093 -0.001 -7.029 -7.066 +0.037210&prime 48.520 49.461 49.392 49.396 -0.004 -6.042 -6.111 +0.069217.04&prime(CS&prime) 55.56 56.795 56.6
16、57 56.665 -0.008 -5.051 -5.140 +0.089七、结束语错误地将缓和曲线平行线(道路边线)，作为缓和曲线来测设，其点位误差是较大的，并且随着路宽的增大而增加。因此，目前在测设边线时，多数测量人员采用这样的办法：先标定缓和曲线(路中线)，然后在中线各桩点上安置经纬仪，沿曲线法线方向标定边线上相应的桩点。这种方法的缺点是，在每个中线点上安置仪器，标定工作量大，测设速度慢。另外，当道路是改扩建工程时，道路中的交通不能阻断，一般是施工与行车同时在路面上进行。当仪器频繁地在道路中线上设站时，车来车往对测量人员和仪器的安全构成很大的危险，也给测设工作带来很大的干扰。采用本文所推导的边线上点位坐标计算公式，及测设方法，可以较好地解决上面所说的问题。根据边线上点位坐标公式(26)、(29)，以及曲线长公式(4)、(5)，也可以灵活采用其他的测设方法，解决边线的测设问题。在实际工作中，应用本文所推导的计算公式，测设边线，提高了工作效率，通过实践也验证了
