《大数据之十年高考真题（2011-2020）与优质模拟卷（北京卷）专题07数列（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大数据之十年高考真题（2011-2020）与优质模拟卷（北京卷）专题07数列（解析版）（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 大数据之十年高考真题（大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（北京卷）与最优模拟题（北京卷） 专题专题 07 数列数列 本专题考查的知识点为：数列，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识 点为：等差数列与等比数列的性质，数列的通项公式，数列求和的方法，数列综合问题，预测 明年本考点题目会有所变化，备考方向以数列综合问题，数列求和为重点较佳. 1 【2020 年北京卷 08】在等差数列 ?中，?t h，?t ?记? ? ? ?，?则数列 ? （） A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项 【答案】B 【解析】 由题意可
2、知，等差数列的公差 ? ? ?t? ?t? ? t?hh ?t? ? ?， 则其通项公式为：? ?h ? t ? ? ?t h h ? t ? ? ? ? ?t ?， 注意到? ? ? ? ? t ? ? ? ? ? ?， 且由? t 可知? t ? ? ?， ? ? ? 由 ? ?t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?可知数列 ?不存在最小项， 由于?t h?t ?t ?t ?t ? ?， 故数列 ?中的正项只有有限项：? ?，? ? ? ? ? h?. 故数列 ?中存在最大项，且最大项为?. 故选：B. 2 【2015 年北京理科 06】设an是等差数列，下列结论中正确的是（） A若 a
3、1+a20，则 a2+a30 B若 a1+a30，则 a1+a20 C若 0a1a2，则 a2? D若 a10，则（a2a1） （a2a3）0 【答案】解：若 a1+a20，则 2a1+d0，a2+a32a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 A 不正确； 2 若 a1+a30，则 a1+a22a1+d0，a2+a32a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 B 不正确； an是等差数列，0a1a2，2a2a1+a32 ?，a2?，即 C 正确； 若 a10，则（a2a1） （a2a3）d20，即 D 不正确 故选：C 3 【2014 年北京理科 05】设an是公比为 q 的等比数列，则“q1”
4、是“an为递增数列”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】解：等比数列1，2，4，满足公比 q21，但an不是递增数列，充分性不成立 若 an1? ? ? ?t?为递增数列，但 q? ? ? 1 不成立，即必要性不成立， 故“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D 4 【2012 年北京理科 08】某棵果树前 n 年的总产量 Sn与 n 之间的关系如图所示从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（） A5B7C9D11 【答案】解：若果树前 n 年的总产量 S 与 n 在图中对应 P（S，n）
5、点 则前 n 年的年平均产量即为直线 OP 的斜率 由图易得当 n9 时，直线 OP 的斜率最大 即前 9 年的年平均产量最高， 故选：C 5 【2019 年北京理科 10】设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S510，则 a5，Sn的最小 值为 【答案】解：设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a23，S510， ?h ?t ? ?h ? ? ?t ?， 解得 a14，d1， 3 a5a1+4d4+410， Sn? ?h ?t? ? ?t4nh ?t? ? ? ? ?（n ? ?） 2? ? ， n4 或 n5 时，Sn取最小值为 S4S510 故答案为：0，10 6 【201
6、8 年北京理科 09】设an是等差数列，且 a13，a2+a536，则an的通项公式为 【答案】解：an是等差数列，且 a13，a2+a536， ? ? ?h h ?h ? ? ?， 解得 a13，d6， ana1+（n1）d3+（n1）66n3 an的通项公式为 an6n3 故答案为：an6n3 7 【2017 年北京理科 10】若等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a4b48，则? ? ? 【答案】解：等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a4b48， 设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q 可得：81+3d，d3，a22； 8q3，解得 q2，b22 可得? ? ?1
7、 故答案为：1 8 【2016 年北京理科 12】已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和若 a16，a3+a50，则 S6 【答案】解：an为等差数列，Sn为其前 n 项和 a16，a3+a50， a1+2d+a1+4d0， 12+6d0， 解得 d2， S6? ?h ? ? ?36306 故答案为：6 9 【2014 年北京理科 12】若等差数列an满足 a7+a8+a90，a7+a100，则当 n时，an的前 n 项和最大 4 【答案】解：由等差数列的性质可得 a7+a8+a93a80， a80，又 a7+a10a8+a90，a90， 等差数列an的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负
8、数， 等差数列an的前 8 项和最大， 故答案为：8 10 【2013 年北京理科 10】若等比数列an满足 a2+a420，a3+a540，则公比 q；前 n 项和 Sn 【答案】解：设等比数列an的公比为 q， a2+a4a2（1+q2）20 a3+a5a3（1+q2）40 两个式子相除，可得到? ? ? ? ? ?2 即等比数列的公比 q2， 将 q2 带入中可求出 a24 则 a1? ? ? ? ? ? ?2 数列an时首项为 2，公比为 2 的等比数列 数列an的前 n 项和为：Sn? ?t? ?t? ? ?t? ?t? ?2n+12 故答案为：2，2n+12 11 【2012 年北
9、京理科 10】已知an是等差数列，sn为其前 n 项和若 a1? ? ?，s2a3，则 a2 【答案】解：an是等差数列，a1? ? ?，S2a3， ? ? h ? ? h ? ? ? h ?， 解得 d? ? ?， a2? ? ? h ? ? ?1 故答案为：1 12 【2011 年北京理科 11】在等比数列an中，a1? ? ?，a44，则公比 q ；|a1|+|a2|+|an| 【答案】解：q? ? ? ? ? t ? ?t2， 5 |a1|+|a2|+|an|? ? ?t? ? ?t? ? ?t?t ? ? 故答案为：2，?t?t ? ? 13 【2020 年北京卷 21】已知 ?是无
10、穷数列给出两个性质： 对于 ?中任意两项? ? ?，在 ?中都存在一项?，使? ? ? ? ?； 对于 ?中任意项?，在 ?中都存在两项? ? ?使得? ? ? ? ()若? ? ? ?，?判断数列 ?是否满足性质，说明理由； ()若? ?t? ? ?，?判断数列 ?是否同时满足性质和性质，说明理由； ()若 ?是递增数列，且同时满足性质和性质，证明： ?为等比数列. 【答案】()详见解析；()详解解析；()证明详见解析. 【解析】 ()? ? ? ? ? ? ? ? h ? ? ? ? ?不具有性质； ()? t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t?t? ?t? ? ? ? ? ? ?
11、?t? ?具有性质； ? t? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ?t?t? ?t? ? ? ?具有性质； ()【解法一】 首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数： 显然? t ? ? ? ? ，假设数列中存在负项，设?t? max ? t ， 第一种情况：若?t? ?，即?t? t ? ? ? ? ?， 由可知：存在?，满足? ? ? ? ? t，存在?，满足? ? ? ? ? t， 由?t? ? 可知 ? ? ? ? ? ? ?，从而? ? ?，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若?t? ?，由知存在实数 ?，满足? ?t ? ? ? t，
12、由?t的定义可知：? ? ?t， 另一方面，? ?t ? ? ? ?t ? ?t ? ?t，由数列的单调性可知：? ? ?t， 这与?t的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号. 其次，证明? ? ? ?： 6 利用性质：取 ? ? ?，此时? ? ? ? ? ? ? ， 由数列的单调性可知? ? t， 而? ? ? ? ? ?，故 ? ? ?， 此时必有 ? ? ?，? ? ?即? ? ? ?， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列 ?的前 ? ? ? ? 项成等比数列，不妨设? ?t? ? ? ? ? ， 其中? t?（ ，? ?
13、? tt ? ? ? ? 的情况类似） 由可得：存在整数 ?，满足? ? ? ?t? ? ? ?，且? ? ?h?（*） 由得：存在 ? ? ?，满足：?h? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，由数列的单调性可知：? ? ? ? ? h ?， 由? ?t? ? ? ? ? 可得：?h? ? ? ? ? ?t?t? ? ?t?（*） 由（*）和（*）式可得：? ?t?t? ?t?， 结合数列的单调性有：? ? ?t ? t ? ? ? t ?， 注意到 ? ?均为整数，故 ? ? ?t ? t ?， 代入（*）式，从而?h? ?. 总上可得，数列 ?的通项公式为：? ?t?. 即数列 ?为等比
14、数列. 【解法二】 假设数列中的项数均为正数： 首先利用性质：取 ? ? ?，此时? ? ? ? ? ? ? ， 由数列的单调性可知? ? t， 而? ? ? ? ? ?，故 ? ? ?， 此时必有 ? ? ?，? ? ?即? ? ? ?， 即?成等比数列，不妨设? ? ? ? ? ， 然后利用性质：取 ? ? ?，? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即数列中必然存在一项的值为?，下面我们来证明? ?， 否则，由数列的单调性可知? ?， 7 在性质中，取 ? ? ?，则? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，从而 ? ? ?， 与前面类似的可知则存在 ?， ? ? ? ? ? ?满足? ? ? ?， 若 ? ? ?，? ? ?则：? ? ? ? ? ?，与假设矛盾； 若 ? ? ?，? ? ?则：? ? ? ? ? ? ?，与假设矛盾； 若 ? ? ?，? ? ?则：? ? ? ? ? ? ?，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数 ?，?可见? ?不成立，从而? ?， 同理可得：? ? ?，?从而数列 ?为等比数列， 同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列 ?为等比数列. 14 【2019 年北京理科 20
