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1、,4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4.3 特殊根轨迹 4.4 利用根轨迹分析控制系统性能,4 线性系统的根轨迹分析,根 轨 迹 法,根轨迹法: 三大分析校正方法之一 特点: （1）图解方法，直观、形象。 （2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统 性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。,4.1 根轨迹法的基本概念,根轨迹：系统某一参数由0 变化时，闭环特征根在s平面相应变化所描绘出来的轨迹。,系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根闭环极点，所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。 1948年W
2、.R.Evans提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程，而用图解法来确定系统的闭环特征根。,4.1.1 根轨迹示例,例1 系统结构图如图所示，分析 l 随开环增益K 变化的趋势。,解.,4.1.2 闭环零点与开环零、极点之间的关系,闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关,系统结构图如图所示，确定闭环零点,4.1.3 绘制根轨迹方程绘制根轨迹的两个条件,根轨迹方程及其含义,一般情况下,式中： K*绘制根轨迹的可变参数，称为参变量； pj(j=1,2,n) 为系统的开环极点； zi(i=1,2,m) 为系统的开环零点；, 根轨迹方程, 模值条件, 相角条件
3、,显然: K*的变动只影响幅值条件不影响相角条件，即K* 变动相角条件是不变的,简记为不变的相角条件。相角 条件为s点位于根轨迹上的充要条件。 对s平面上任意的点，总存在一个 K*，使其满足 模值条件，但该点不一定是根轨迹上的点。幅值条件 为必要条件。,例2 判定si是否为根轨迹上的点。,模值条件,解.,相角条件,4-2 绘制根轨迹的基本规则,以K*为参变量的根轨迹，是最基本、最常用的根轨迹，称之为典型根轨迹。将系统开环传递函数表示为零极点型式：,系统的闭环特征方程可以表示为：,以K*为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程，相应地，我们称之为典型根轨迹方程。,将典型根轨迹方程可以写成幅值条
4、件和相角条件：, 模值条件, 相角条件,基于相角条件，在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。,例:以下列4阶系统为例手工绘制根轨迹图.,先在复平面上标出开环极点p1, p2, p3, p4和开环零点z1如图。对试验点s，如果它在根轨迹上，就应当满足相角条件：,为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记并理解三句话：绘制根轨迹依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。,根轨迹规则的提出： 纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的，而且对全貌的把
5、握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更准。,基本法则（1）（2）根轨迹的分支数，对称性和连续性,法则1和2 根轨迹的分支数=开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。,根轨迹在s平面上的分支数等于控制系统特征方程的阶数 n，即根轨迹的分支数与开环极点的数目相同。,特征方程中的参数为实数且连续变化，特征方程的根要么是实根要么是共轭复根（对称于实轴），同时特征方程的根连续变化，则根轨迹连续且对称。,基本法则（3）根轨迹的起点和终点,法则3 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。,基本法则（4）根轨迹的渐近
6、线,法则4 如果控制系统的开环零点数m 少于开环极点数n 时，渐近线有n-m 条，这些渐近线在实轴上交于一点。渐近线为,由长除法可得,渐近线,做长除法并取高次项，得,由二项式定理,基本法则（5）实轴上的根轨迹,法则5 实轴上根轨迹是那些在其右侧的开环实极点数与开环实零点数的总数为奇数的线段。简记为“奇是偶不是”。,实轴上的根轨迹示例,例3 某单位反馈系统的开环传递函数为 ，证明复平面的根轨迹为圆弧。,定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。,基本法则（6）与虚轴交点,法则6 与虚轴交点：,解法I ：,1）系统临界稳定点,2）
7、s = jw 是根的点,接例3,Routh ：,解法II ：,基本法则（7）分离点 d,法则7 分离点 d：,（对应重根）,当K*从0变到时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。,显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。,当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点。,或,复数分离点示例,分离点的必要条件,设开环传递函数为,该方程只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看
8、是否满足相角条件。,特征方程为,分离点的必要条件,分离点的必要条件,基本法则（8）出射角/入射角,法则8 出射角/入射角,根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴方向的夹角称为出射角，根轨迹进入某个开环零点的切线与实轴的正方向的夹角称为入射角。,简记“加零去余极”,简记为“加极去余零”,出射角/入射角示例,例4 单位反馈系统的开环传递函数为,，绘制根轨迹。,注意,只有复数极点或复 数零点才需要计算 出射角/入射角。,出射角/入射角示例,基本法则（9）根之和,法则9 根之和：,证明：,n-m 2时，闭环根之和保持一个常值。,由代数定理：,n-m 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零
9、。,绘制根轨迹法则小结,法则 4 渐近线,法则 3 根轨迹的起点和终点,法则 1、2 根轨迹的分支数，对称性和连续性,法则 5 实轴上的根轨迹,法则 9 根之和,法则 6 分离点,法则 7 与虚轴交点,法则 8 出射角/入射角,2、除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易事，可以考虑用试根法；手工求出射角和入射角也不太好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。,3、手工画根轨迹最有用的规则是1到5和7，如果想得到更精确的根轨迹图，可用Matlab绘制。,1、根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是手工绘图，根据规则1到规
10、则5就能很快地画出大致形状，再按规则7求出参数 K*的临界值K*c，这样的根轨迹图为概略图，一般手工画根轨迹的习题（考题）就是指这种概略图。,根轨迹示例1,根轨迹示例2,j,0,n=1;d=conv(1 2 0,1 2 2);rlocus(n,d),n=1 2;d=conv(1 2 5,1 6 10);rlocus(n,d),绘制根轨迹示例,例5 已知系统结构图，绘制根轨迹。,解., 渐近线：, 实轴上的根轨迹：-,0, 与虚轴交点：, 出射角：,绘制根轨迹示例,例1 系统结构图如图所示,解. (1), 渐近线：, 实轴上的根轨迹：-0.5, 1.75,（1）绘制当K*= 0 时系统的根轨迹；
11、,（2）分析系统稳定性随K*变化的规律。, 出射角：, 与虚轴交点：,本节将讨论两种特殊情况。一种是不以K*为参量的根轨迹参数根轨迹，另一种是闭环系统为正反馈系统。,4.3 特殊根轨迹图,4.3.1 参数根轨迹,在绘制系统的根轨迹时，并非只能以开环增益为可变 参量，实际上对绘制根轨迹所选的参数可按需要加以 选择，并称以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹成 为反馈系数的参数根轨迹。 反馈系统参数根轨迹的绘制步骤是，首先将系统的特 征方程 整理成如下形式的根轨迹方程， 即,式中 以s 和参数X 为自变量的开环传递函数； X 非开环增益的参变量； 不含参变量X 的复变量s 的多项式，其中s 最高次幂项
12、的系数需化成+1，即需将 化成开环传递函数的标准形式，即,其次，根据式右侧是-1，按绘制180根轨迹规则绘制， 式右侧是+1按照0根轨迹规则绘制。同绘制以开环增 益为参变量的普通根轨迹一样，来绘制参变量是X=0 的参数根轨迹。举例如下： 例 已知系统的开环传递函数为 试绘制以 为参变量的根轨迹。,解 1恰当处理 原系统的特征方程为 代入已知数据，得 通分 得 用 除上式得 即 2按绘制根轨迹规则，绘制参量根轨迹如下图。,参数根轨迹示例,例 系统开环传递函数,解. (1), 渐近线：, 实轴根轨迹：-,0,，a=0 变化，绘制根轨迹；x=1时， F(s)=?, 分离点：,整理得：, 与虚轴交点：
13、,4.3.1 参数根轨迹 除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹,构造 “ 等效开环传递函数 ”,4.3.2 零度根轨迹 系统实质上处于正反馈时的根轨迹, 模值条件, 相角条件,绘制零度根轨迹的基本法则, 法则 4 渐近线,法则 3 根轨迹的起点和终点,法则 1、2 根轨迹的分支数，对称性和连续性, 法则 5 实轴上的根轨迹,法则 9 根之和,法则 6 分离点,法则 7 与虚轴交点, 法则 8 出射角/入射角,零度根轨迹示例,例4 系统结构图如图所示，K*= 0, 变化, 试分别绘制 0、180根轨迹。,解., 实轴轨迹：-, -1, 出射角：, 分离点：,整理得：,解根：,(1) 180
14、根轨迹,(2) 0 根轨迹,-1, ,4.4 利用根轨迹分析控制系统性能,例1 已知系统结构图，K*= 0，绘制系统根轨迹并确定：, 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围；, 当 l3=-5 时，l1，2=？相应 K=?,利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤 绘制系统根轨迹； 依题意确定闭环极点位置； 确定闭环零点； 保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能, 复极点对应 x=0.5 (b=60o) 时的 K 值及闭环极点位置；, 当 K*=4 时， 求l1, 2, 3 并估算系统动态指标( ,ts)。,4.4 利用根轨迹分析系统性能（2）,解. 绘制系统根轨迹, 渐近线：, 实轴
15、上的根轨迹：-,-4, -2,0, 分离点：,整理得：,解根：, 虚轴交点：,4.4 利用根轨迹分析系统性能（3）,依题，对应,设,应有：,解根：,比较系数, 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围,有：, 复极点对应 x=0.5 (b=60o) 时的 K 值及闭环极点位置,由根之和,4.4 利用根轨迹分析系统性能（4）,解根：,试根, 当 l3=-5 时，l1，2=？相应 K=?, 当 K*=4 时， 求l1, 2, 3 并估算系统动态指标( ,ts),令,4.4 利用根轨迹分析系统性能（5）,视 l1,2 为主导极点, 当 K*=4 时， 求l1, 2, 3 并估算系统动态指标
16、( ,ts),例2 已知系统的特征方程为 试画出以a为参变量的根轨迹图，并求出使阻尼比为0.5 时a 的值。,解： 1.恰当处理 用 去除特征方程的两边得 即 其中,2.按绘制180根轨迹规则，绘制参量根轨迹 1）按规则1，根轨迹有三个分支。 2）按规则2，根轨迹的三个分支连续且对称于实轴。 3）按规则3，根轨迹的三个分支起始于三个开环极点， 。由于m0，当a 时，三条根轨迹分别 趋向无穷远。 4）按规则5，整个负实轴都是根轨迹上的点。作出开环零，极点 分布图如图所示， 5）按规则6，求根轨迹的分离点 6）按规则4，根轨迹的渐近线有nm3条：,7）没有复极点，复零点，故不用求入射角与出射角。 8）按规则7，与虚轴的交
