第四章生产论习题

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1、导数公式1、2、 3、 4、 5、 积分公式： 1、 c是常数 2 第四章 生产论习题3. 已知生产函数Qf(L， K)2KL0.5L20.5K2， 假定厂商目前处于短期生产，且K10。(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。(2)分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3)什么时候APLMPL？它的值又是多少？解答：切入点：（1）题根据AP、MP定义可得出答案。（2）题：要求得TP、AP、MP的最大值，只要对它们的函数求导，使得导数为0，就可以得到极值点。

2、再求它们的二阶导数，如果为负就说明达到了极大值。注意MP，在这里是一条斜率为负的直线，所以直接判断就可以。 （3）MP和AP曲线相交于AP线的最大值点上，明确这点就可以得出结论。（1） 由已知的生产函数，而且可得短期生产函数为：根据定义：劳动的总产量函数劳动的平均产量函数劳动的边际产量函数 （2）求总产量的最大值：令 即： 解得 且： 所以当劳动投入量为20时，最大。 关于平均产量的最大值：令 即 解得 且： 所以当劳动投入量为10时，劳动的平均产量最大。 关于边际产量的最大值：边际产量函数 ，是一条斜率为负的直线，应该知道劳动的投入量不会是负值，所以当劳动投入量为0时，劳动的边际产量达到最大

3、值。 （3）当劳动的平均产量达到最大值时，一定有，由以上计算可知当时，劳动的平均产量达到最大。 的最大值 将代入劳动的边际产量函数，可得，所以，当劳动投入量时，5已知生产函数为Qmin2L， 3K。求：(1)当产量Q36时，L与K值分别是多少？(2)如果生产要素的价格分别为PL2，PK5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？解答： 切入点：（1）这是个固定比例生产函数，原来我们讲过，如果没有另外说明，都认为 中，把Q=36代入式子就可得L和K 的值。（2）同样计算出产量为480时，L和K的值，又知道L和K的价格，最小成本就知道了。 （1） 生产函数表示该函数是一个固定投入比例生产函数，所以

4、厂商进行生产时，总有 因为已知产量，所以相应地有 （2）由，可得： 又因为，所以有： 即生产480单位产量的最小成本为1280。6、假设某厂商的短期生产函数为 Q35L8L2L3。求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2)如果企业使用的生产要素的数量为L6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？解：切入点：（1）根据平均产量和边际产量的定义得到两个函数；（2）合理的投入区域是AP达到最大值时L的投入量到MP=0时，L的投入量之间，计算出这两个L的量，看L=6是不是在这个区域中。 （1）根据所给产量函数得 （2）AP最大值时有 MP=0时有，解得L=7所以，合理的劳动投入区域是4到7之间

5、。L=6，处于合理的劳动投入区域中。8、假设生产函数Q min5L,2K。 (1)作出Q50时的等产量曲线。(2)推导该生产函数的边际技术替代率函数。 (3)分析该生产函数的规模报酬情况。解：（1）Q=5L=2k=50 所以：L=10，k=25 （2）MRTS=5/2=2.5（3）设，当L和K 的投入量扩大倍时，产量为5L=2K=50，即产量也是原来产量的倍，有f(L，K)=f(L，K) 则规模报酬不变。9、已知柯布道格拉斯生产函数为QALK。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解：设常数对于生产函数Q=f(L，K)，如果要素投入增加到(L，K)后,比较f(L，K)和f(L，K)的大小 如果f(L

6、，K)f(L，K) 则规模报酬递增。 如果f(L，K)=f(L，K) 则规模报酬不变。如果f(L，K)f(L，K)则规模报酬递减。设 所以：如果+1，则f(L，K)f(L，K) ，规模报酬递增。如果+=1，则f(L，K)=f(L，K) ，规模报酬不变。如果+1，则f(L，K)f(L，K)，规模报酬递减。10、已知生产函数为（1）(2) (3) (4) 求：(1)厂商长期生产的扩展线方程。(2)当PL1，PK1，Q1 000时，厂商实现最小成本的要素投入组合。解答：切入点：（1）扩展线表示的是L和K的组合，所以其方程表示的是K和L之间的函数关系。生产的扩展线是一系列生产者均衡点的轨迹，即都满足生

7、产要素的最优组合，也就是满足要素的均衡条件：，其中PL和PK分别表示劳动和资本的价格。先求MPL 和MPK，再代入均衡条件就可以求出各个函数的扩展线方程。（2）厂商实现最小成本，实际上也是指生产者均衡，要素组合也在生产扩展线上。所以把给定的K和L的价格代入扩展线方程得出K和L的值，再把它们代入生产函数就可得到答案。（1）(a)关于生产函数Q=。 MPL=，MPK= 由最优要素组合的均衡条件，可得： 整理得： 即厂商长期生产的扩展线方程为：K=L (b)关于生产函数Q=。 MPL= MPK= 由最优要素组合的均衡条件=，可得： = 整理得：= 即厂商长期生产的扩展线方程为：K=L (c)关于生产

8、函数Q=KL2。 MPL=2KLMPK=L2 由最优要素组合的均衡条件=，可得： 即厂商长期生产的扩展线方程为：K=L (d)关于生产函数Q=min(3L，K)。 由于该函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总有3L=K，所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为K=3L(2)(a)关于生产函数Q=5。 当PL=1，PK=1，Q=1 000时，由其扩展线方程 K= L得：K=2L 代入生产函数Q=5得： 5=1 000 解得 L= K= (b)关于生产函数Q=。 当PL=1，PK=1，Q=1 000时，由其扩展线方程 K=L得：K=L 代入生产函数Q=，得： =1 000 L=2 000

9、 K=2 000 (c)关于生产函数Q=KL2。 当PL=1，PK=1，Q=1 000时，由其扩展线方程K=L得：K= 代入生产函数Q=KL2，得：K=L2=1 000 L=10 K=5 (d)关于生产函数Q=min(3L，K)。 当PL=1，PK=1，Q=1 000时，将其扩展线方程K=3L，代入生产函数，得： K=3L=1 000 于是，有K=1 000，L=。11已知生产函数QAL1/3K2/3。判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？解答： 切入点：（1）要分析规模报酬是那种类型，得比较产量增加的比例和生

10、产要素增加比例的大小。设常数对于生产函数Q=f(L，K)，如果要素投入增加到(L，K)后,比较f(L，K)和f(L，K)的大小 如果f(L，K)f(L，K) 则规模报酬递增。 如果f(L，K)=f(L，K) 则规模报酬不变。如果f(L，K)f(L，K)则规模报酬递减。 （2）短期生产中要看生产函数是否受边际报酬递减规律的支配，得看函数的边际报酬曲线是上升还是下降，也就是看MP曲线的斜率是正还是负，而要得到MP 的斜率就是对MP求导。如果结果是负的就是受边际报酬递减规律的支配。(1)因为Q=f(L，K)=A，于是有： f(L，K)=A = A =A =f(L，K) 所以，生产函数Q=A属于规模报

11、酬不变的生产函数。 (2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以表示；而劳动投入量可变，以L表示。 对于生产函数Q=A，有： MPL= 且0 这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量MPL是递减的。 相类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以表示；而资本投入量可变，以K表示。 对于生产函数Q=A，有： MPK=，且 0 这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MPK是递减的。 以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。12. 令生产函数， 其中0i1，i0,1,2,3。(1)当

12、满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。（1）产量增加的比例和要素投入增加的比例相同，就是规模报酬不变。如果要素投入增加到(L，K)后,产量应该增加到f(L，K)。f(L,K)=f(L,K) 0（2）在规模不变的情况下，求产量对于L或K的偏导数，就得到相应的MPL和MPK。再对MP求相应的二阶导数，如果结果为负，就证明边际产量递减。(1)根据规模报酬不变的定义 f(L,K)=f(L,K) (0)于是有f(L,K)=0+1(L)(K)+2(K)+3(L) =0 +1(LK)+2K+3L =(0+1(LK)+2K+3L)+(1-)0 =f(L,K)+(1-)0 由上式可见：当0=0时，对于任何的0，有f(L，K)=f(L，K)成立。即当0=0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 （2）在规模报酬不变，即0=0时，生产函数可以写成 f(L，K)=1(LK)+2K+3L 相应的劳动与资本的边际产量分别为： MPL(L，K)=1LK+3， MPK(L，K)=1LK+2，而且有 =1LK =1LK 显然，劳动和资本的边际产