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1、1,数值微积分以及数值分析,2,数值微分,数值微分的实现 两种方式计算函数f(x)在给定点的数值导数：1.用多项式或者样条函数 2. 利用数据的有限差分 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。 例子：help dif
2、f,3,拉普拉斯微分算子,MATLAB中的离散拉普拉斯微分算子调用格式dell2(U) Help dell2,4,数值积分,数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。,5,数值积分的实现方法,低阶法-自适应递推辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为： I=quad(fname,a,b,to
3、l,trace) I,n=quad(fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。,6,例 求0.3pi定积分 f=exp(-0.5*x)*sin(x+pi/6); 。 调用数值积分函数quad求定积分。 S,n=quad(exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6),0,3*pi) S = 0.9008 n = 77,7,2高阶法：自适应牛顿柯
4、特斯法 基于牛顿柯特斯法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为： I,n=quadl(fname,a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是用高阶自适应递推法，该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。,8,例：前一例子 分别用quad函数和quadl函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数 例： 求0,pi 定积分f=x*sin(x)/(1+cos(x)*cos(x) 调用函数quadl求定积分。 I=quadl(x.*sin(x)./(
5、1+cos(x).*cos(x),0,pi) I = 2.4674,9,3Trapz : 计算梯形面积的和来计算定积分 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。 例 用trapz函数计算定积分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans = 0.28579682416393,10,函数极值,MATLAB中只存在处理极小值命令的函数，极大值的处理等价于-f(x)的极小值 局域极值的函数调用： x = fminbnd(fun,x1,x2,o
6、ptions)：一元函数的x1,x2范围内极小值 x = fminsearch(fun,x0,options): 单纯形法求函数极值，x0为向量 X=fminunc(fun,X0,options): 拟牛顿法多元函数极值点,11,函数零点,Matlab中用fzero来寻找单变量函数值为零的自变量的值，调用格式： x = fzero(fun,x0) x0指定搜索的点 注意： fzero并不一定能找到零点 搜索方法：先猜测一个初时零点所在的区间；然后通过一些计算，使得猜测值不断精确，或者使得猜测区间不断收缩，直至达到预先指定的精度，终止计算。 help fzero,12,函数曲线绘制,绘制函数曲线
7、的专用函数fplot的调用 FPLOT(FUN,LIMS) 特点：绘图数据由函数在指定范围内自适应产生，根据函数曲线的平滑程度自动调整数据点的密度,绘制函数曲线的一般方法，计算出函数在某一区间值，然后根据两组数据值绘制出函数曲线，但是如果函数在某些区间是平坦无激励的，某些区间却是失控的，传统方法无法表达函数的真正特性,13,离散傅立叶变换,信号处理中的频谱分析 一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功能为： (1) fft(X)：返回向量X的离散傅立叶变换。设X的长度(即元素个数)为N，若N为2的幂次，则为以2为基数的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非2幂次的算法。对于矩阵X，fft(X)应
8、用于矩阵的每一列。,14,(2) fft(X,N)：计算N点离散傅立叶变换。它限定向量的长度为N，若X的长度小于N，则不足部分补上零；若大于N，则删去超出N的那些元素。对于矩阵X，它同样应用于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为N。 (3) fft(X,dim)或fft(X,N,dim)：这是对于矩阵而言的函数调用格式，前者的功能与FFT(X)基本相同，而后者则与FFT(X,N)基本相同。只是当参数dim=1时，该函数作用于X的每一列；当dim=2时，则作用于X的每一行。,15,值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是2的幂次时，可以取一个N使它大于N0且是2的幂次，然后利用函数格式fft(X
9、,N)或fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这样，计算速度将大大加快。 相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。ifft(F)返回F的一维离散傅立叶逆变换；ifft(F,N)为N点逆变换；ifft(F,dim)或ifft(F,N,dim)则由N或dim确定逆变换的点数或操作方向。,16,例 给定数学函数 x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t) 取N=128，试对t从01秒采样，用fft作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅-频率图。 在01秒时间范围内采样128点，从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从0到N-1，故在实际应用时下标应该
10、前移1。又考虑到对离散傅立叶变换来说，其振幅| F(k)|是关于N/2对称的，故只须使k从0到N/2即可。,17,程序如下： N=128; % 采样点数 T=1; % 采样时间终点 t=linspace(0,T,N); % 给出N个采样时间ti(I=1:N) x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采样点样本值x dt=t(2)-t(1); % 采样周期 f=1/dt; % 采样频率(Hz) X=fft(x); % 计算x的快速傅立叶变换X F=X(1:N/2+1); % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1) f=f*(0:N/2)/N; % 使频率轴f从零开始 plot(f,abs(F),-*) % 绘制振幅-频率图 xlabel(Frequency); ylabel(|F(k)|),
