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1、1.111.1正弦定理预习课本P23，思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？1正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.点睛正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化2解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形1判断下
2、列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦定理适用于任意三角形()(2)在ABC中，等式bsin Aasin B总能成立()(3)在ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解()解析：(1)正确正弦定理适用于任意三角形(2)正确由正弦定理知，即bsin Aasin B.(3)错误在ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定答案：(1)(2)(3)2在ABC中，下列式子与的值相等的是()A.B.C. D.解析：选C由正弦定理得，所以.3在ABC中，已知A30，B60，a10，则b等于()A5 B10C. D5解析：选B由正弦定
3、理得，b10.4在ABC中，A，b2，以下错误的是()A若a1，则c有一解B若a，则c有两解C若a，则c无解 D若a3，则c有两解解析：选Da2 sin1时，c有一解；当a1时，c无解；当1a2时，c有一解故选D.已知两角及一边解三角形典例在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，b，c.解A180(BC)180(6075)45，由正弦定理，得b4，由，得c4(1)已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边注意若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如754
4、530)，再根据上述思路求解 活学活用在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC()A4B2C. D.解析：选B由正弦定理得，即，所以AC2，故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形典例在ABC中，a，b，B45，求A，C，c.解由正弦定理及已知条件，有，得sin A.ab，AB45.A60或120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.综上可知：A60，C75，c或A120，C15，c.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判
5、断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 活学活用在ABC中，c，C60，a2，求A，B，b.解：，sin A.A45或A135.又ca，CA.A45.B75，b1.三角形形状的判断典例在ABC中，acosbcos，判断ABC的形状解：法一化角为边acosbcos，asin Absin B由正弦定理可得：ab，a2b2，ab，ABC为等腰三角形法二化边为角acosbcos，asin Absin B.由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，AB.(AB不合题意舍
6、去)故ABC为等腰三角形利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如ab，a2b2c2等，进而确定三角形的形状利用的公式为：sin A，sin B，sin C.(2)化边为角将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状利用的公式为：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C活学活用在ABC中，已知acos Abcos B，试判断ABC的形状解：由正弦定理，2R，所以acos Abcos B可化为sin A cos A
7、sin Bcos B，sin 2Asin 2B，又ABC中，A，B，C(0，)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC的形状为等腰或直角三角形层级一学业水平达标1在ABC中，a5，b3，则sin Asin B的值是()A. B.C. D.解析：选A根据正弦定理得.2在ABC中，absin A，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选B由题意有b，则sin B1，即角B为直角，故ABC是直角三角形3在ABC中，若，则C的值为()A30 B45C60 D90解析：选B由正弦定理得，则cos Csin C，即C45，故选B.4ABC中，A，B，b，则a
8、等于()A1 B2C. D2解析：选A由正弦定理得，a1，故选A.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且absin A，则sin B()A. B.C. D解析：选B由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，所以sin Asin Bsin A，故sin B.6下列条件判断三角形解的情况，正确的是_(填序号)a8，b16，A30，有两解；b18，c20，B60，有一解；a15，b2，A90，无解；a40，b30，A120，有一解解析：中absin A，有一解；中csin Bbb，有一解；中ab且A120，有一解综上，正确答案：7在ABC中，若(sin Asin B)(sin
9、Asin B)sin2C，则ABC的形状是_解析：由已知得sin2Asin2Bsin2C，根据正弦定理知sin A，sin B，sin C，所以222，即a2b2c2，故b2c2a2.所以ABC是直角三角形答案：直角三角形8在锐角ABC中，BC1，B2A，则_.解析：由正弦定理及已知得，2.答案：29已知一个三角形的两个内角分别是45，60，它们所夹边的长是1，求最小边长解：设ABC中，A45，B60，则C180(AB)75.因为CBA，所以最小边为a.又因为c1，由正弦定理得，a1，所以最小边长为1.10在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形解：，b4.C180(AB)180(304
10、5)105，c4sin(3045)22.层级二应试能力达标1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于()A120B105C90 D75解析：选Aca，sin Csin Asin(18030C)sin(30C)，即sin Ccos C，tan C.又0C180，C120.故选A.2已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，若ABC的周长为4(1)，且sin Bsin Csin A，则a()A. B2C4 D2解析：选C根据正弦定理，sin Bsin Csin A可化为bca，ABC的周长为4(1)，解得a4.故选C.3在ABC中，A60，a，则等于()A. B.C. D2解析：选B由a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C得2R.4在ABC中，若ABC，且AC2B，最大边为最小边的2倍，则三个角ABC()A123 B234C345 D456解析：选A由ABC，且AC2B，ABC，可得B，又最大边为最小边的2倍，所以c2a，所以sin C2sin A，即sin2sin Atan A，又0A0，
