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1、1.111.1正弦定理预习课本P23,思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系?(2)正弦定理的内容是什么?利用它可以解哪两类三角形?(3)解三角形的含义是什么?1正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即.点睛正弦定理的特点(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的互化2解三角形一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形1判断下
2、列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)正弦定理适用于任意三角形()(2)在ABC中,等式bsin Aasin B总能成立()(3)在ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解()解析:(1)正确正弦定理适用于任意三角形(2)正确由正弦定理知,即bsin Aasin B.(3)错误在ABC中,已知a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况,具体情况由a,b,A的值来定答案:(1)(2)(3)2在ABC中,下列式子与的值相等的是()A.B.C. D.解析:选C由正弦定理得,所以.3在ABC中,已知A30,B60,a10,则b等于()A5 B10C. D5解析:选B由正弦定
3、理得,b10.4在ABC中,A,b2,以下错误的是()A若a1,则c有一解B若a,则c有两解C若a,则c无解 D若a3,则c有两解解析:选Da2 sin1时,c有一解;当a1时,c无解;当1a2时,c有一解故选D.已知两角及一边解三角形典例在ABC中,已知a8,B60,C75,求A,b,c.解A180(BC)180(6075)45,由正弦定理,得b4,由,得c4(1)已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角(2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边注意若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并,即将非特殊角转化为特殊角的和或差,如754
4、530),再根据上述思路求解 活学活用在ABC中,若A60,B45,BC3,则AC()A4B2C. D.解析:选B由正弦定理得,即,所以AC2,故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形典例在ABC中,a,b,B45,求A,C,c.解由正弦定理及已知条件,有,得sin A.ab,AB45.A60或120.当A60时,C180456075,c;当A120时,C1804512015,c.综上可知:A60,C75,c或A120,C15,c.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判
5、断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论 活学活用在ABC中,c,C60,a2,求A,B,b.解:,sin A.A45或A135.又ca,CA.A45.B75,b1.三角形形状的判断典例在ABC中,acosbcos,判断ABC的形状解:法一化角为边acosbcos,asin Absin B由正弦定理可得:ab,a2b2,ab,ABC为等腰三角形法二化边为角acosbcos,asin Absin B.由正弦定理可得:2Rsin2A2Rsin2B,即sin Asin B,AB.(AB不合题意舍
6、去)故ABC为等腰三角形利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如ab,a2b2c2等,进而确定三角形的形状利用的公式为:sin A,sin B,sin C.(2)化边为角将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状利用的公式为:a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C活学活用在ABC中,已知acos Abcos B,试判断ABC的形状解:由正弦定理,2R,所以acos Abcos B可化为sin A cos A
7、sin Bcos B,sin 2Asin 2B,又ABC中,A,B,C(0,),所以2A2B或2A2B,即AB或AB,所以ABC的形状为等腰或直角三角形层级一学业水平达标1在ABC中,a5,b3,则sin Asin B的值是()A. B.C. D.解析:选A根据正弦定理得.2在ABC中,absin A,则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析:选B由题意有b,则sin B1,即角B为直角,故ABC是直角三角形3在ABC中,若,则C的值为()A30 B45C60 D90解析:选B由正弦定理得,则cos Csin C,即C45,故选B.4ABC中,A,B,b,则a
8、等于()A1 B2C. D2解析:选A由正弦定理得,a1,故选A.5在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且absin A,则sin B()A. B.C. D解析:选B由正弦定理得a2Rsin A,b2Rsin B,所以sin Asin Bsin A,故sin B.6下列条件判断三角形解的情况,正确的是_(填序号)a8,b16,A30,有两解;b18,c20,B60,有一解;a15,b2,A90,无解;a40,b30,A120,有一解解析:中absin A,有一解;中csin Bbb,有一解;中ab且A120,有一解综上,正确答案:7在ABC中,若(sin Asin B)(sin
9、Asin B)sin2C,则ABC的形状是_解析:由已知得sin2Asin2Bsin2C,根据正弦定理知sin A,sin B,sin C,所以222,即a2b2c2,故b2c2a2.所以ABC是直角三角形答案:直角三角形8在锐角ABC中,BC1,B2A,则_.解析:由正弦定理及已知得,2.答案:29已知一个三角形的两个内角分别是45,60,它们所夹边的长是1,求最小边长解:设ABC中,A45,B60,则C180(AB)75.因为CBA,所以最小边为a.又因为c1,由正弦定理得,a1,所以最小边长为1.10在ABC中,已知a2,A30,B45,解三角形解:,b4.C180(AB)180(304
10、5)105,c4sin(3045)22.层级二应试能力达标1在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果ca,B30,那么角C等于()A120B105C90 D75解析:选Aca,sin Csin Asin(18030C)sin(30C),即sin Ccos C,tan C.又0C180,C120.故选A.2已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,若ABC的周长为4(1),且sin Bsin Csin A,则a()A. B2C4 D2解析:选C根据正弦定理,sin Bsin Csin A可化为bca,ABC的周长为4(1),解得a4.故选C.3在ABC中,A60,a,则等于()A. B.C. D2解析:选B由a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C得2R.4在ABC中,若ABC,且AC2B,最大边为最小边的2倍,则三个角ABC()A123 B234C345 D456解析:选A由ABC,且AC2B,ABC,可得B,又最大边为最小边的2倍,所以c2a,所以sin C2sin A,即sin2sin Atan A,又0A0,