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1、1,关心问题： 价格便宜 运行速度快 硬盘容量大 显示效果好 售后服务 可选方案： 各种型号的品牌机（联想、清华紫光、北大方正、宏基、戴尔） 组装兼容机,？,性能,费用,服务,引子,例：购买电脑决策问题,2,购买一台自己满意的电脑,费用,性能,服务,方案1,方案2,方案3,方案4,引子,例：购买电脑决策问题,3,引子,例：大学生综合素质分析,4,引子,进行系统分析时可能遇到这样的情况: 有些问题难以甚至不可能建立精确的数学模型来定量分析，定性分析不可避免； 由于时间紧迫，有些问题来不及细致的定量分析； 有些问题只需初步选择或者大致判断。,5,引子,层次分析法(Analytical Hierar
2、chy Process, AHP)是美国匹兹堡大学教授A.L.Saaty萨迪于20世纪70年代提出的一种定性与定量分析相结合的系统分析方法，可以综合定性和定量分析、模拟人的决策思维过程，以解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统。 我国于1982年开始引进，现已在能源政策分析、产业结构研究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价等方面得到了应用。,6,5.2 层次分析法 （ Analytical Hierarchy Process, AHP）,7,主要内容,5.2.1 AHP的分析步骤 5.2.1 AHP的计算方法 5.2.3 AHP的应用,8,1.首先将复杂问题分解为若干组成要素；
3、 2.将这些要素按照因果支配关系形成递阶层次结构； 3.通过两两比较确定层次中各要素的相对重要性； 4.最后综合决策者的判断，确定方案的总排序。,AHP的基本原理,整个过程体现了分解-判断-综合的思维特征。,9,5.2.1 分析步骤,AHP分析法的步骤,运用层次分析法分析问题时，一般需要经历以下几个步骤： （1）明确问题 （2）建立多级递阶层次结构 （3）建立判断矩阵 （4）层次单排序及一致性检验 （5）层次总排序及一致性检验,10,一、建立层次结构模型,将所包含的因素分组设层，并标明各层因素之间的关系，如对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。,目标层A,准则层C,方案层P,11,例如：
4、减少交通事故损失的方案评价问题,促进恢复,防止事故发生,提高司机的责任感,提高车辆操作技能,改善道路设施,提高车辆安全功能,减少事故损失,减少交通事故损失,加强路口交通管理,充实急救医疗体制,充实残疾人治疗体制,健全医疗体制,目标层,准则层,方案层,12,二、构造判断矩阵,设已知n只西瓜的重量总和为1，每只西瓜的重量分别为W1，W2，Wn，很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的判断矩阵A（比较矩阵）：,A ,W1/W1 W1/W2 W1/Wn W2/W1 W2/W2 W2/Wn . Wn/W1 Wn/W2 Wn/Wn, (aij)nn,显然 aii=1， aij=1/aji， aij= aik/
5、ajk(i,j,k=1，2， n) 即A为正互反矩阵。,如：n=3，w1=0.2，w2=0.3，w3=0.5 可得判断矩阵A,13,13,在矩阵中，bij 的确定一般根据资料统计，由专家和分析者一起根据经验反复讨论后，凭定性分析的直觉和判断而定。即运用量化标度将思维判断数量化。,显然，判断矩阵中,，且有以下特征:,2）反比性：,1）自比性：,3）一致性：,-正互反矩阵,14,二、构造判断矩阵,复习：矩阵的特征根和特征向量 设A是一个n阶方阵，若存在实数和n维非零列向量X，使得AX=X，则称为方阵A的一个特征根，X称为A的对应于特征根的一个特征向量。,AW ,W1/W1 W1/W2 W1/Wn
6、W2/W1 W2/W2 W2/Wn Wn/W1 Wn/W2 Wn/Wn, nW,W1 W2 Wn,nW1 nW2 nWn,n是A的一个特征根； 对应于特征根n的特征向量W-每只西瓜的重量。,15,二、构造判断矩阵,反过来，如通过西瓜两两比较能得到判断矩阵A（而不是称），也可推导出西瓜的相对重量。因为判断矩阵A有完全一致性时，可通过解特征根问题 AW = max W 求出正规化特征向量（即设西瓜总重量为1），从而得到n只西瓜的相对重量。,AW ,W1/W1 W1/W2 W1/Wn W2/W1 W2/W2 W2/Wn Wn/W1 Wn/W2 Wn/Wn, nW,W1 W2 Wn,nW1 nW2 n
7、Wn,16,二、构造判断矩阵,17,二、构造判断矩阵,判断矩阵是针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性的数量表示。 这是将定性判断转变为定量表示的一个过程。 设准则层中因素Ck与下一层P中的因素P1,P2,Pn有关，则构造的判断矩阵如下表：,Ck,P1,P2,Pn,P1,P2,.,Pn,b11,b12,.,b1n,b21,b22,.,b2n,.,.,.,bn1,bn2,.,bnn,18,判断矩阵的形式：,上层要素,与AK相关联的下层要素,数量标度，即bi对bj的相对重要性,19,19,判断矩阵标度定义,*选择1-9之间的整数及其倒数作为取值的主要原因是符合人们进行比较判
8、断时的心理习惯。试验心理学表明，人能同时处理的属性为7+2个,-,20,三、层次单排序,根据判断矩阵，计算对于上一层次某因素而言，本层次与之有关的因素的重要性次序的权值。 层次单排序可归结为计算判断矩阵特征根和特征向量问题。 即对判断矩阵B，计算满足 BW= maxW 的特征根与特征向量，W的各个分量Wi即是相应因素单排序的权值。,21,三、层次单排序,判断矩阵的一致性问题 判断矩阵具有完全一致性： 使用AHP，判断矩阵A的一致性很重要，但要求所有判断都有完全的一致性不大可能。 因此，一般只要求A具有满意的一致性，此时max稍大于矩阵阶数n，其余特征根接近零。这时，基于AHP得出的结论才基本合
9、理。 为使所有判断保持一定程度上的一致，AHP步骤中需要进行一致性检验。,22,四、层次单排序中的一致性检验,为了检验判断矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标,max n,n1,CI=,将CI与平均随机一致性指标RI比较，RI可从表5.2.2查得：,阶数,RI,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.00,0.00,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,只有当随机一致性比例CR= 0.10 时，判断矩阵才具有满意的一致性，否则就需要对判断矩阵进行调整。,CI,RI,23,五、层次总排序,利用单排序结果，可综合计算最底层(方案层)相对最高层(目标层)重要性顺序的组
10、合权值。层次总排序从上到下进行。 C层因素C1、C2、C3对A层目标的单排序 结果为c1、c2、c3 假设已知 P层因素P1、P2、P3对 的单排序 结果为,C1,C2,C3,b11,、b21,、b31,b12,、b22,、b32,b13,、b23,、b33,目标A,准则C1,准则C2,准则C3,方案P1,方案P2,方案P3,24,五、层次总排序,则综合计算P1、P2、P3相对A的总排序结果可用下表表示：,C对A,P对C,C1,C2,.,Cm,c1,c2,.,cm,P1,P2,.,Pn,b11,b12,.,b1m,b21,b22,.,b2m,.,.,.,bn1,bn2,.,bnm,P层次的总排
11、序,i=1,m,cib1i,m,i=1,cib2i,.,m,i=1,cibni,方案层,准则层,25,五、层次总排序,26,六、总排序的一致性检验,为评价总排序的计算结果的一致性，需要计算与单排序类似的检验量。 同样，当CR 0.1时，认为层次总排序具有满意的一致性，其结果可提供决策者参考。,准则层的个数,27,AHP计算的根本问题是计算判断矩阵的最大特征根max及其对应的特征向量W。 三种常用的计算方法：幂法、和积法、方根法 幂法：计算机进行，可得到任意精确度的最大特征根max及其相应的特征向量W。 和积法：近似算法。 方根法：近似算法。,5.2.1计算方法,28,一、幂法（不要求）,计算步
12、骤如下: (1)取与判断矩阵B同阶的正规化的初值向量W0。 (2)计算 (3)令,计算,(4)给定一个精度 ,当,，对所有,成立时停止计算 ，则,就是,所需求的特征向量。 （5）计算最大特征值：,29,二、和积法,例1用和积法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。,B,C1,C2,C3,C1,C2,C3,1,5,3,1/5,1,1,1/3,1/3,3,解：（1）将判断矩阵每一列正规化,30,本例得到按列正规化后的判断矩阵为：,（2）列正规化后的判断矩阵按行相加 本例有：,二、和积法,31,（3）将向量 正规化,则所求特征向量： W= 0.106，0.634，0.261 T,二、和积法
13、,本例有：,32,（4）计算判断矩阵的最大特征根 max,二、和积法,33,1 1/5 1/3,5 1 3,3 1/3 1,0.106,0.634,0.261,BW =,(BW)1= 1 0.106 + 1/5 0.634 + 1/3 0.261= 0.320,(BW)2= 5 0.106 + 1 0.634 + 3 0.261 = 1.941,(BW)3= 3 0.106 + 1/3 0.634 + 1 0.261 = 0.785,二、和积法,=,(BW)1,(BW)2,(BW)3,例子：,34,则,二、和积法,35,一致性检验（检验该矩阵是否具有满意的一致性）,一致性指标 CI = = =
14、 0.018 ；,max n,n - 1,3.036 3,2,查表，三阶矩阵的平均随机一致性指标 RI = 0.58 ；,由于该矩阵的随机一致性比例,CR= = = 0.03 0.1,CI,RI,0.018,0.58,所以该矩阵具有满意的一致性。C1，C2，C3相对B的排序为：,二、和积法,W= 0.106，0.634，0.261 T,36,例2 用方根法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。,B,C1,C2,C3,C1,C2,C3,1,5,3,1/5,1,1,1/3,1/3,3,三、方根法,解：（1）将判断矩阵B的元素按行相乘 本例有：,37,（2）所得的乘积分别开n次方 本例有：
15、,三、方根法,38,（3）将方根向量正规化，即得所求特征向量W 本例有：,三、方根法,W= 0.105，0.637，0.258 T,39,（4）计算判断矩阵最大特征根 此处与和积法相同，略。本例有： max=3.037,三、方根法,40,为了给出判断矩阵，需要进行n(n-1)/2次两两比较（自比不算）。 有人会问，只要让其它所有元素与某一个元素进行比较，即总共进行n-1次比较就可以构造出判断矩阵了，两两比较必要吗？,讨论：判断矩阵中两两比较的必要性,41,如仅用n-1次比较来决定元素排序，则其中任何一次判断失误必将导致不合理的排序。两两比较可以集中决策者提供的更多的信息，正好是对每一次比较是否合理进行检查的过程，通过不同角度的反复比较，降低个别失误所造成的影响，避免系统性的错误。 两两比较非常必要，应保证每次比较能够独立进行。,讨论：判断矩阵中两两比较的必要性,42,例：,讨论：判断矩阵中两两比较的必要性,两两比较构造的判断矩阵,n-1次比较构造的判断矩阵,43,43,5.2.3 AHP的应用一、AHP用于方案排序,例3 决定某厂一笔企业留成利润 目标：合理使用留成利润，促进企业进一步发展 可选方案：5个,层次结构模型,44,44,（1
