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1、天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分）1（5分）复数z满足（zi）（2i）=5，则z=（）A22iB2+2iC22iD2+2i2（5分）已知全集U=R，A=y|y=2x+1，B=x|x1|+|x2|2，则（UA）B=（）ABx|x1Cx|x1Dx|0x13（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A2B4C5D204（5分）已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l5（5分）
2、设x，yR，a1，b1，若ax=by=3，a+b=2的最大值为（）A2BC1D6（5分）设，则对任意实数a，b，a+b0是f（a）+f（b）0的（）A充分必要条件B充分而非必要条件C必要而非充分条件D既非充分也非必要条件7（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）ABCD8（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”定义为|P1P2|=|x1x2|+|y1y2|则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值（大于|F1F
3、2|）的点的轨迹可以是（）ABCD二、填空题：（每小题5分，共30分）9（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是11（5分）如图，在ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BEAC于E，BE的延长线交DEC的外接圆于F，则EF的长为12（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（为参数） 则圆C上的点到直线l的距离的最大值为13（5分）如图，在四边形ABCD中，ABBC，AB=3，BC=4，ACD是等边三角形，则的值为14（5分）已知函数f（x）=ax+x2xlna，对x1，x20，1不等式|
4、f（x1）f（x2）|a1恒成立，则a的取值范围三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分）15（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分（）求乙得分的分布列和数学期望；（）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率16（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC中，若f（）=2，b=1，c=2
5、，求a的值17（13分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5（）求证：AA1平面ABC；（）求证二面角A1BC1B1的余弦值；（）证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值18（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8（）求椭圆E的方程（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由19（14分
6、）已知数列an的前n项和为Sn，若4Sn=（2n1）an+1+1，且a1=1（）证明：数列an是等差数列，并求出an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn20（14分）设函数f（x）=lnx+x2ax（aR）（）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1（0，1，求证：f（x1）f（x2）+ln2；（）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a（2，4），总存在，使g（x）k（4a2）成立，求实数k的取值范围天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项
7、涂在答题卡上，每小题5分，共40分）1（5分）复数z满足（zi）（2i）=5，则z=（）A22iB2+2iC22iD2+2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由复数z满足（zi）（2i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出解答：解：复数z满足（zi）（2i）=5，=2+2i故选：D点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题2（5分）已知全集U=R，A=y|y=2x+1，B=x|x1|+|x2|2，则（UA）B=（）ABx|x1Cx|x1Dx|0x1考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域 专题：集合分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可解
8、答：解：全集U=R，A=y|y=2x+1=y|y1，UA=y|y1B=x|x1|+|x2|2=x|，则（UA）B=x|x1故选：B点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力3（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A2B4C5D20考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y的最小值解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0
9、）时，z取得最小值为4；故选B点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解4（5分）已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论 专题：空间位置关系与距离分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论解答：解：由m平面，直线l满足lm，且l，所以l，又n平面，ln，l，所以l由直线m，n为异面直线，且m平面，n平面，则与
10、相交，否则，若则推出mn，与m，n异面矛盾故与相交，且交线平行于l故选D点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题5（5分）设x，yR，a1，b1，若ax=by=3，a+b=2的最大值为（）A2BC1D考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：不等式的解法及应用分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：ax=by=3，x=loga3=，y=logb3=，当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6（5分）设
11、，则对任意实数a，b，a+b0是f（a）+f（b）0的（）A充分必要条件B充分而非必要条件C必要而非充分条件D既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数 专题：计算题；压轴题分析：由f（x）=x3+log2（x+）=x3+log2=x3log2（x+）=f（x），知f（x）是奇函数所以f（x）在R上是增函数，a+b0可得af（a）+f（b）0成立；若f（a）+f（b）0则f（a）f（b）=f（b）由函数是增函数知a+b0成立a+b=0是f（a）+f（b）=0的充要条件解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为Rf（x）=x3+lo
12、g2（x+）=x3+log2=x3log2（x+）=f（x）f（x）是奇函数f（x）在（0，+）上是增函数f（x）在R上是增函数a+b0可得abf（a）f（b）=f（b）f（a）+f（b）0成立若f（a）+f（b）0则f（a）f（b）=f（b）由函数是增函数知aba+b0成立a+b0是f（a）+f（b）0的充要条件点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用7（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）ABCD考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分
13、析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，点A为椭圆C1：+y2=1上的点，2a=4，b=1，c=；|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；又四边形AF1BF2为矩形，+=，即x2+y2=（2c）2=12，由得：，解得x=2，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|AF1|=yx=2，2n=2=2，双曲线C2的离心率e=故选D点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题8（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”定义为|P1P2|=|x1x2|+|y1y2|则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值（大于|F1F2|）
