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1、初三数学辅导班学习资料 圆学校 姓名 1.圆有关的概念: (中心对称、轴对称图形)(1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中,定点为圆心,定长为半径 (2)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角 (3)圆周角:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角 (4)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧 (5)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径2.圆的有关的性质:(旋转不变性)(1)圆心角、弦和弧三者之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条同一类弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分
2、别相等;(知一得二)(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;(此处直径可减弱为过圆心的半径)(3)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数;(4)圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(5)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补. (6)圆周角定理:直径所对的圆周角是直角,反过来,90.的圆周角所对的弦是直径;(7)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;(8)切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径;(9)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,这一点到两切点的线段
3、相等,它与圆心的连线平分两切线的夹角,并平分两切点的连线段.(10)公共弦定理:两圆相交,连心线垂直平分公共弦.3三角形的内心和外心 (1)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆 (2)三角形的外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心 (3)三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心4.点与圆的位置关系(3种):点在圆外,圆上,圆内,设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点在圆外dr点在圆上d=r点在圆内dr5直线和圆的位置关系(3种
4、):相交、相切、相离 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则直线与圆相交dr,直线与圆相切d=r,直线与圆相离dr6.圆与圆的位置关系(5种)设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R和r,则 两圆外离dR+r; 两圆外切d=Rr; 两圆相交RrdR+r(Rr) 两圆内切d=Rr(Rr) 两圆内含dRr(Rr)7.圆有关的计算:(1)弧长计算公式:(R为圆的半径,n是弧所对的圆心角的度数,为弧长)(2)扇形面积:或(R为半径,n是扇形所对的圆心角的度数,为扇形的弧长)(3)圆锥: 圆锥的侧面积为S侧2rlrl;全面积为S全r2rl8.圆中的多解及常作辅助线(1)由于点与圆的位置,点在圆上的位置不
5、确定关系而多解 (圆内、圆外、圆上)(2)由于弦所对弧的优劣而多解(一条弦对两条弧) (3)弦所对的圆周角的位置产生多解(一条弦对两类圆周角)(4)由于两平行弦与圆心的位置而多解 (在圆心同侧或异侧)(5)直线与圆的关系而多解 (6)圆与圆的关系而多解(相切包括内切、外切) (7)两圆相交时,两圆心与公共弦的位置而多解(两圆心在公共弦同侧或异侧)9.圆中常作辅助线(1)证明线段相等作半径(2)求圆中弦的长度,过圆心做垂线段,利用垂径定理构造直角三角形求解(3)求角的度数,利用同一类圆周角转化一、知识点1、与圆有关的角圆心角、圆周角,(两者之间的关系 )(1)图中的圆心角 ;圆周角 ; (2)如
6、图,已知AOB=50度,则ACB= 度; (3)在上图中,若AB是圆O的直径,则ACB= 度;2、圆的对称性:(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条 的直线;圆是中心对称图形,对称中心为 (2)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧如图,CD是圆O的直径,CDAB于E = , = 3、点和圆的位置关系有三种:点在圆 ,点在圆 ,点在圆 ;例1:已知圆的半径r等于5厘米,点到圆心的距离为d,(1)当d=2厘米时,有d r,点在圆 (2)当d=7厘米时,有d r,点在圆 (3)当d=5厘米时,有d r,点在圆 4、直线和圆的位置关系有三种:相 、相 、相 例2:已知圆的半径r等于
7、12厘米,圆心到直线l的距离为d,(1)当d=10厘米时,有d r,直线l与圆 (2)当d=12厘米时,有d r,直线l与圆 (3)当d=15厘米时,有d r,直线l与圆 5、圆与圆的位置关系:例3:已知O1的半径为6厘米,O2的半径为8厘米,圆心距为 d, 则:R+r= , Rr= ;(1)当d=14厘米时,因为d R+r,则O1和O2位置关系是: (2)当d=2厘米时, 因为d Rr,则O1和O2位置关系是: (3)当d=15厘米时,因为 ,则O1和O2位置关系是: (4)当d=7厘米时, 因为 ,则O1和O2位置关系是: (5)当d=1厘米时, 因为 ,则O1和O2位置关系是: 6、切线
8、性质:例4:(1)如图,PA是O的切线,点A是切点,则PAO= 度(2)如图,PA、PB是O的切线,点A、B是切点,则 = , = ;7、圆中的有关计算(1)弧长的计算公式:例5:若扇形的圆心角为60,半径为3,则这个扇形的弧长是多少?解:因为扇形的弧长= 所以= (答案保留)(2)扇形的面积:例6:若扇形的圆心角为60,半径为3,则这个扇形的面积为多少?解:因为扇形的面积S= 所以S= (答案保留)若扇形的弧长为12cm,半径为6,则这个扇形的面积是多少? 解:因为扇形的面积S= 所以S= = (3)圆锥:例7:圆锥的母线长为5cm,半径为4cm,则圆锥的侧面积是多少?解:圆锥的侧面展开图是
9、 形,展开图的弧长等于 圆锥的侧面积= 8、三角形的外接圆的圆心三角形的外心三角形的 交点;三角形的内切圆的圆心三角形的内心三角形的 交点;例8:画出下列三角形的外心或内心 (1)画三角形ABC的内切圆, (2)画出三角形DEF的外接圆,并标出它的内心; 并标出它的外心二、练习:(一)填空题1、如图,弦AB分圆为1:3两段,则的度数= 度,第1小题的度数等于 度;AOB 度,ACB 度, 2、如图,已知A、B、C为O上三点,若、的度数之比为123,则AOB ,AOC ,第2小题 ACB ,3、如图132,在O中,弦AB=1.8cm,圆周角ACB=30 ,则 O的半径等于=_cm4、O的半径为5
10、,圆心O到弦AB的距离OD=3,则AD= ,AB的长为 ;第4、5小题5、如图,已知O的半径OA=13,弦AB24,则OD= 。6、如图,已知O的直径AB10cm,弦AC8cm, 则弦心距OD等于 cm.第6小题7、已知:O1的半径为3,O2的半径为4,若O1与O2外切,则O1O2 。8、已知:O1的半径为3,O2的半径为4,若O1与O2内切,则O1O2 。9、已知:O1的半径为3,O2的半径为4,若O1与O2相切,则O1O2 。10、已知:O1的半径为3,O2的半径为4,若O1与O2相交,则两圆的圆心距d的取值范围是 11、已知O1和O2外切,且圆心距为10cm,若O1的半径为3cm,则O2
11、的半径为_ _cm12、已知O1和O2内切,且圆心距为10cm,若O1的半径为3cm,则O2的半径为_ _cm13、已知O1和O2相切,且圆心距为10cm,若O1的半径为3cm,则O2的半径为_ _cm14、如图1335是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图,则围成这个灯罩的铁皮的面积为_cm2 (不考虑接缝等因素,计算结果用表示)15、如图,两个同心圆的半径分别为和,AOB=,则阴影部分的面积是_16、一个圆锥的母线与高的夹角为30,那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的弧长与半径的比是 (二)选择题1、如图137,A、B、C是O上的三点,BAC=30则BOC的大小是( ) A60 B45 C30 D152、如图,AB为O的直径,C、D是O上的两点,BAC20,则DAC的度数是( ) (A)30 (B) 35 (C) 45 (D) 703、如图1316,PA为O的切线,A为切点,PO交 O于点B,PA=4,OA=3,则cosAPO的值为( ) 4、PA切O于A,PA = ,APO = 30,则PO的为( ) A B 2 C 1 D 5、圆柱的母线长5cm,为底面半径为1cm,则这个圆拄的侧面