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1、初三数学辅导班学习资料 圆学校 姓名 1.圆有关的概念: （中心对称、轴对称图形）（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径 （2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 （3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角 （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧 （5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径2.圆的有关的性质：（旋转不变性）（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条同一类弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分
2、别相等；（知一得二）（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（此处直径可减弱为过圆心的半径）（3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；（4）圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（5）圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补. （6）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90.的圆周角所对的弦是直径；（7）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（8）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；（9）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段
3、相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角，并平分两切点的连线段.（10）公共弦定理：两圆相交，连心线垂直平分公共弦.3三角形的内心和外心 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆 （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心4.点与圆的位置关系（3种）：点在圆外，圆上，圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外dr点在圆上d=r点在圆内dr5直线和圆的位置关系（3种
4、）：相交、相切、相离 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交dr，直线与圆相切d=r，直线与圆相离dr6.圆与圆的位置关系（5种）设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则 两圆外离dR+r； 两圆外切d=Rr； 两圆相交RrdR+r（Rr） 两圆内切d=Rr（Rr） 两圆内含dRr（Rr）7.圆有关的计算:(1)弧长计算公式：（R为圆的半径，n是弧所对的圆心角的度数，为弧长）(2)扇形面积：或（R为半径，n是扇形所对的圆心角的度数，为扇形的弧长）(3)圆锥: 圆锥的侧面积为S侧2rlrl；全面积为S全r2rl8.圆中的多解及常作辅助线（1）由于点与圆的位置，点在圆上的位置不
5、确定关系而多解 （圆内、圆外、圆上）（2）由于弦所对弧的优劣而多解（一条弦对两条弧） （3）弦所对的圆周角的位置产生多解（一条弦对两类圆周角）（4）由于两平行弦与圆心的位置而多解 （在圆心同侧或异侧）（5）直线与圆的关系而多解 （6）圆与圆的关系而多解（相切包括内切、外切） （7）两圆相交时，两圆心与公共弦的位置而多解（两圆心在公共弦同侧或异侧）9.圆中常作辅助线（1）证明线段相等作半径（2）求圆中弦的长度，过圆心做垂线段，利用垂径定理构造直角三角形求解（3）求角的度数，利用同一类圆周角转化一、知识点1、与圆有关的角圆心角、圆周角，（两者之间的关系 ）（1）图中的圆心角 ；圆周角 ； （2）如
6、图，已知AOB=50度，则ACB= 度； （3）在上图中，若AB是圆O的直径，则ACB= 度；2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 的直线；圆是中心对称图形，对称中心为 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧如图，CD是圆O的直径，CDAB于E = ， = 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆 ，点在圆 ，点在圆 ；例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆 （2）当d=7厘米时，有d r，点在圆 （3）当d=5厘米时，有d r，点在圆 4、直线和圆的位置关系有三种：相 、相 、相 例2：已知圆的半径r等于
7、12厘米，圆心到直线l的距离为d，（1）当d=10厘米时，有d r，直线l与圆 （2）当d=12厘米时，有d r，直线l与圆 （3）当d=15厘米时，有d r，直线l与圆 5、圆与圆的位置关系：例3：已知O1的半径为6厘米，O2的半径为8厘米，圆心距为 d， 则：R+r= ， Rr= ；（1）当d=14厘米时，因为d R+r，则O1和O2位置关系是： （2）当d=2厘米时， 因为d Rr，则O1和O2位置关系是： （3）当d=15厘米时，因为 ，则O1和O2位置关系是： （4）当d=7厘米时， 因为 ，则O1和O2位置关系是： （5）当d=1厘米时， 因为 ，则O1和O2位置关系是： 6、切线
8、性质：例4：（1）如图，PA是O的切线，点A是切点，则PAO= 度（2）如图，PA、PB是O的切线，点A、B是切点，则 = ， = ；7、圆中的有关计算（1）弧长的计算公式：例5：若扇形的圆心角为60，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？解：因为扇形的弧长= 所以= (答案保留)（2）扇形的面积：例6：若扇形的圆心角为60，半径为3，则这个扇形的面积为多少？解：因为扇形的面积S= 所以S= (答案保留)若扇形的弧长为12cm，半径为6，则这个扇形的面积是多少？ 解：因为扇形的面积S= 所以S= = （3）圆锥：例7：圆锥的母线长为5cm，半径为4cm，则圆锥的侧面积是多少？解：圆锥的侧面展开图是
9、 形，展开图的弧长等于 圆锥的侧面积= 8、三角形的外接圆的圆心三角形的外心三角形的 交点；三角形的内切圆的圆心三角形的内心三角形的 交点；例8：画出下列三角形的外心或内心 （1）画三角形ABC的内切圆， （2）画出三角形DEF的外接圆，并标出它的内心； 并标出它的外心二、练习：（一）填空题1、如图，弦AB分圆为1：3两段，则的度数= 度，第1小题的度数等于 度；AOB 度，ACB 度， 2、如图，已知A、B、C为O上三点，若、的度数之比为123，则AOB ，AOC ，第2小题 ACB ，3、如图132，在O中，弦AB=1.8cm，圆周角ACB=30 ，则 O的半径等于=_cm4、O的半径为5
10、，圆心O到弦AB的距离OD=3，则AD= ，AB的长为 ；第4、5小题5、如图，已知O的半径OA=13，弦AB24，则OD= 。6、如图,已知O的直径AB10cm，弦AC8cm, 则弦心距OD等于 cm.第6小题7、已知：O1的半径为3，O2的半径为4，若O1与O2外切，则O1O2 。8、已知：O1的半径为3，O2的半径为4，若O1与O2内切，则O1O2 。9、已知：O1的半径为3，O2的半径为4，若O1与O2相切，则O1O2 。10、已知：O1的半径为3，O2的半径为4，若O1与O2相交，则两圆的圆心距d的取值范围是 11、已知O1和O2外切，且圆心距为10cm，若O1的半径为3cm，则O2
11、的半径为_ _cm12、已知O1和O2内切，且圆心距为10cm，若O1的半径为3cm，则O2的半径为_ _cm13、已知O1和O2相切，且圆心距为10cm，若O1的半径为3cm，则O2的半径为_ _cm14、如图1335是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为_cm2 (不考虑接缝等因素，计算结果用表示）15、如图，两个同心圆的半径分别为和，AOB=,则阴影部分的面积是_16、一个圆锥的母线与高的夹角为30，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的弧长与半径的比是 （二）选择题1、如图137，A、B、C是O上的三点，BAC=30则BOC的大小是（ ） A60 B45 C30 D152、如图，AB为O的直径，C、D是O上的两点，BAC20，则DAC的度数是( ) (A)30 (B) 35 (C) 45 (D) 703、如图1316，PA为O的切线，A为切点，PO交 O于点B，PA=4，OA=3，则cosAPO的值为（ ） 4、PA切O于A，PA = ，APO = 30，则PO的为（ ） A B 2 C 1 D 5、圆柱的母线长5cm，为底面半径为1cm，则这个圆拄的侧面
