《【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练选修4-53柯西不等式(人教A版数学理)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练选修4-53柯西不等式(人教A版数学理)(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。课时提能演练(七十二)1.(2012南京模拟)若正数a,b,c满足abc1,求的最小值.2.已知x,y,z为正实数,且1,求x4y9z的最小值及取得最小值时x,y,z的值.3.若a,b,c均为正数,且abc6,求的最大值.4.设P是三角形ABC内的一点,x,y,z是P到三边a,b,c的距离,R是ABC外接圆的半径,证明.5.已知a、b、c均为正数,且abc3,|x2|xm|对任意的xR恒成立,求实数m的取值范围.6.(易错题)已知x,y,z为实数,且x2y3z,(1)求x2y2z2的最小值;(2)设
2、|2t1|x2y2z2,求实数t的取值范围.7.已知a,b,c为实数,且abc22m0,a2b2c2m10.(1)求证:a2b2c2;(2)求实数m的取值范围.8.设a,b,c,d是4个不全为零的实数,求证:.9.已知函数f(x)x,x1,且不等式f(x)a2b2c2对任意x1恒成立.(1)试求函数f(x)的最小值;(2)试求a2b2c的最大值.10.(2012南安模拟)将12 cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段,(1)求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值;(2)若这三条线段分别围成三个正三角形,求这三个正三角形面积和的最小值.答案解析1.【解析】因为正数a,b,c满
3、足abc1,所以()(3a2)(3b2)(3c2)(111)2,即1,当且仅当3a23b23c2,即abc时,原式取最小值1.2.【解题指南】因为1,所以可构造x4y9z()2()2()2()2(2)2(3)2,然后利用柯西不等式求解.【解析】由柯西不等式得x4y9z()2(2)2(3)2()2()2()2(23)236.当且仅当x2y3z时等号成立,此时x6,y3,z2,所以当x6,y3,z2时,x4y9z取得最小值36.3.【解析】由柯西不等式得 ()2(111)2(121212)(2a2b12c3)3(264)48.4.当且仅当即2a2b12c3时等号成立,又abc6,a,b,c时,有最
4、大值4.4.【证明】由柯西不等式得,设S为ABC的面积,则axbycz2S2.,故不等式成立.5.【解析】a,b,c均为正数,且abc3,由柯西不等式可知,3,|x2|xm|3对任意的xR恒成立.|x2|xm|(x2)(xm)|m2|,|m2|3,解得m1或m5.m的取值范围是(,15,).6.【解析】(1)由柯西不等式得(122232)(x2y2z2)(1x2y3z)2即14(x2y2z2)()27,所以x2y2z2,当且仅当|x|y|z|时取等号,即x2y2z2的最小值为. (2)由(1)得|2t1|,则2t1或2t1,解得t或t,即实数t的取值范围是(,).7.【解析】(1)由柯西不等式
5、得a2(b)2(c)2(122232)(abc)2即(a2b2c2)14(abc)2,a2b2c2,当且仅当|a|b|c|时取得等号.(2)由已知得abc2m2,a2b2c21m,14(1m)(2m2)2即2m23m50,m1,又a2b2c21m0,m1,m1.8.【解题指南】可从欲证的不等式左边的分子入手,将其适当变形,然后利用柯西不等式证明,注意应两次利用柯西不等式.【证明】ab2bccd(abcd)(bcad)(bcad)(a2b2c2d2).9.【解析】(1)x1,x10f(x)x(x1)1213.(当且仅当x2时取“”)(2)由(1)得a2b2c23由柯西不等式得(a2b2c2)(122222)(1a2b2c)2(a2b2c)23927,a2b2c3.当且仅当即a,b,c时取“”,即a2b2c的最大值为3.10.【解析】(1)abc12,Vabc()364;当且仅当abc4时,等号成立.(2)设正三角形的边长为l,m,n,则lmn4设这三个正三角形的面积和为S,则:3S(l2m2n2)(121212)(lmn)24S.当且仅当lmn时,等号成立.即这三个正三角形面积和的最小值为.