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1、初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1.换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3.换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4.解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒数方程ax4+
2、bx3+cx2+bx+a=0.两边都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0.设x+=y, 那么x2+= y22, 原方程可化为ay2+by+c2=0.对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一个根是1.原方程可化为(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如ax4bx3+cx2bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以x2, 可化为a(x2+)b(x)+c=0.设x=y, 则x2+=y2+2, 原方程可化为
3、 ay2by+c+2=0.二、例题例1.解方程=x.解：设=y, 那么y2=2x+2.原方程化为：yy2=0 .解得 y=0；或y=2.当y=0时，=0 (无解) 当y=2时，=2， 解得，x=.检验（略）. 例2.解方程：x4+(x4)4=626.解：（用平均值代换，可化为双二次方程.）设 y= x2 ，则x=y+2.原方程化为(y+2)4+(y2)4=626. (y+2)2(y2)2)22(y+2)2(y2)2626=0整理，得y4+24y2297=0. (这是关于y的双二次方程).(y2+33)(y29)=0. 当y2+33=0时，无实根 ； 当y29=0时，y=3.即x2=3， x=5
4、；或x=1.例3.解方程：2x4+3x316x2+3x+2=0 . 解：这是个倒数方程，且知x0，两边除以x2,并整理得2(x2+)+3(x+)16=0. 设x+=y,则x2+=y22.原方程化为2y2+3y20=0. 解得y=4；或y=.由y=4得x=2+；或x=2.由y=2.5得x=2；或x=.例4解方程组解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：. 解得；或.即；或 .解得：；或；或；或.三、练习 解下列方程和方程组：（1到15题）：1. 352x.2.(16x29)2+(16x29)(9x216)+(9x216)2=(
5、25x225)2.3.(2x+7)4+(2x+3)4=32 .4.(2x2x6)4+(2x2x8)4=16.5.(2)4+(2)4=16.6.=. 7.2x43x3x23x+2=0.8. 9.10.11.(6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. 13.14. . 15.16. 分解因式：(x+y2xy)(x+y2)+(1xy)2； a4+b4+(a+b)4 . 17. 已知：a+2=b2=c2=d2, 且a+b+c+d=1989.则a=_,b= _,c=_,d=_18. a表示不大于a的最大整数，如=1，=2，那么 方程 3x+1=2x 的所有根的和是_.参考答案1. 2. 3. 4. 2, 5. 6. 1 7.,2 8.9. 10. 7,1 11., 12. 13.14. 15. x=16.设x+y=a,xy=b 设a2+b2=x,ab=y17.设原式=k, k=442 18. 2可设2x=t, x=t+代入3x+1
