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1、2020年湖南省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合Ax|x1，则满足ABA的集合B可以是（）Ax|x0Bx|x2Cx|x0Dx|x22（5分）若（4mi）（m+i）0，其中i为虚数单位，则实数m的值为（）A2B4C4D23（5分）已知向量（2，2），（1，a），若|1，则（）A2B4C6D84（5分）已知函数f（x）2sin（x+1），若对于任意的xR，都有f（x1）f（x）f（x2）成立，则|x1x2|的最小值为（）A2B1C4D5（5分）在圆M：x2+y24x4y10中，过点E（0，1）
2、的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A6B12C24D366（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是（）A30B40C50D607（5分）已知抛物线x24y的准线与双曲线1（a0，b0）的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）AB5CD28（5分）已知二进制数10
3、10（2）化为十进制数为n，若（x+a）n的展开式中，x7的系数为15，则实数a的值为（）ABC1D29（5分）若两个等差数列an，bn的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（）ABCD10（5分）已知倾斜角为的直线过定点（0，2），且与圆x2+（y1）21相切，则的值为（）ABCD11（5分）已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于2+2，则球O的体积等于（）ABCD12（5分）已知函数f（x）axlnx，x1，e的最小值为3，若存在x1，x2xn1，e，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）f
4、（xn），则正整数n的最大值为（）A2B3C4D5二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13（5分）已知实数x，y满足不等式组，则zlog2（x+y+1）的最大值为 14（5分）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若a2sinC5sinA，（a+c）216+b2则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为 15（5分）某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x+y的最大值为 16（5分）已知曲线C1：f（x）ex2x，曲线C2：g（x）ax+cosx
5、，（1）若曲线C1在x0处的切线与C2在x处的切线平行，则实数a （2）若曲线C1上任意一点处的切线为l1，总存在C2上一点处的切线l2，使得l1l2则实数a的取值范围为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17（12分）设数列an满足：a11，且2anan+1+an1（n2），a3+a412（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，PA平面ABCD，E是棱PC上的一点（1）证明
6、：平面ADE平面PAB；（2）若PEEC，F是PB的中点，AD，ABAP2CD2，且二面角FADE的正弦值为，求的值19（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，直线l：xy+20与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点M（0，m），使|+2|2|成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由20（12分）甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”，第二轮为“轮流坐庄答题环节”首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题
7、进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题：第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题，直到答错，则换人（换庄）答下一题以此类推例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，直到乙答错再换成甲坐庄答题，依此类推当两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为Pn（1n20），
8、其中P11，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是，如果某位同学有机会答第n道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立：两轮答题完毕总得分高者胜出回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由（2）求第二轮答题中P2，P3；求证为等比数列，并求Pn（1n20）的表达式21（12分）已知对数函数f（x）过定点（其中e2.71828）函数g（x）nmf（x）f（x）（其中f（x）为f（x）的导函数，n，m为常数）（1）讨论g（x）的单调性（2）若对x（0，+）有g（x）nm恒成立，且h（x）g（x）+2xn在xx1，x2（x
9、1x2）处的导数相等，求证：h（x1）+h（x2）72ln2（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P（2，0），直线1交曲线C于A，B两点，求的值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|x4|+|1x|，xR（1）解不等式：f（x）5；（2）记f（x）的最小值为M，若实数ab满足a2+b2M，试证明：参
10、考答案一、选择题1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.C 8.A 9.C 10.D 11.A 12.B二、填空题132142151616（1）2；（2）a1三、解答题：17解：（1）依题意，由2anan+1+an1（n2）可知数列an是等差数列设等差数列an的公差为d，则a3+a4（a1+2d）+（a1+3d）2+5d12，解得d2an1+2（n1）2n1，nN*（2）由（1）知，（），设数列的前n项和为Tn，则Tn+（1）+（）+（）+（）+（）+（）（1+）（1+）18解：（1）证明：由PA平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAD，又ABAD，PAABA，所以AD平面PA
11、B，又AD平面ADE，所以平面ADE平面PAB；（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），C（，1，0），D（，0，0），F（0，1，1），由（1）知，ADPB，又PBAF，故PB平面ADF，（0，2，2），PEEC，所以，所以，设平面ADE的法向量为，由，得，二面角FADE的正弦值为，所以|cos|，即，得1或419解：（1）由已知得，解得，b，c，椭圆C的方程为；（2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为ykx+m，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m28016（8k2m2+2
12、）0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2（kx1+m）（kx2+m），由，得，即，即x1x2+y1y20，故8k25m280，代入式解得m或m20解：（1）设甲选出的3道题答对的道数为，则（3，），设甲第一轮答题的总得分为x，则x105（3）1515，Ex15E151531515，设乙第一轮得分为y，则y的所有可能取值为30，15，0，则P（y30），P（y15），P（y0），y的分布列为： y 30 15 0 P Ey12，ExEy，第二轮最先开始答题的是甲（2）依题意得P11，P2，P3证明：依题意有PnPn1+（1Pn）+（n2），Pn（Pn1），n2，P1，是以为首项，
13、以为公比的等比数列，Pn（1n20）21解：（1）令f（x）logax（a1且a1），将代入得ae，所以f（x）lnx，得，求导，（x0），当m0时，g（x）0在x0时恒成立，即g（x）在（0，+）单调递减；当m0时，g（x）0，则0xm，g（x）0，则xm，即g（x）在（0，m）单调递增，在（m，+）单调递减；综上，当m0时，g（x）在（0，+）单调递减；当m0时，g（x）在（0，m）单调递增，在（m，+）单调递减；（2）证明：因为g（1）nm，而x（0，+），有g（x）nmg（1）恒成立知g（x）当x1时有最大值g（1），由（1）知必有m1，所以，所以，依题意，设h（x1）h（x2）k，即，所以，所以x1+x2x1x2，所以x1x24，所以2x1x21lnx1x2，令tx1x24，（t）2t1lnt，所以，所以（t）在t4单调递增，所以（t）（4）72ln2所以h（x1）+h（x2）72ln2（二）选考题解：（1）已知曲线C：（为
