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1、第10讲 等效原理与感应定理10.1 等效原理电磁场问题的解是由方程和边界条件决定的。也就是说，如果保持区域中的源分布、媒质分布以及区域边界上的边界条件不变，则场分布不变。这些便是电磁场等效原理的基础。唯一性定理告诉我们，只要知道了所规定区域中的源、媒质及包围该区域的闭合曲面上的切向电场或切向磁场则该区域中的场唯一确定。这里并未提及区域外的源和媒质的分布情况。事实上，区域外的源对区域内的场的贡献已包含在曲面上的切向电场或切向磁场中。区域外不同分布的源只要在闭合曲面上产生相同的切向场，在区域内产生的场也相同。等效的概念是这样表述的：在区域外具有不同源分布和媒质分布，而在区域内源分布和媒质分布相同
2、的一些电磁场问题如果在区域内具有相同的场分布，则对区域内而言这些电磁场问题是等效的。考虑如图10-1(a) 所示的场问题。 (a) (b)图10-1 等效原理 (a) 原问题 (b) 等效问题 曲面将区域分成两部分和。原问题在上满足 （10-1）即在上不存在源。将（10-1）写为 （10-2）虽然在数学上（10-2）只是（10-1）变化而来的恒等式，似乎很无聊，但反映的物理内含是不同的。（10-1）表示的是区域和的交界面边界条件，而（10-2）表示的是包围区域或的闭合曲面的切向场边界条件。 如果人为地令区域中场为、，而中源、媒质和场分布保持不变，如图10-1(b) 所示。设在曲面上 （10-3
3、）式中，和分别表示在曲面上区域和中的切向磁场和电场的差值。根据两区域交界面的边界条件可知，和就是在曲面上的面电流源和面磁流源。所以，为了支持如图10-1(b) 所示的场分布，在面上应人为地加上面电流源和面磁流源: （10-4）实际上，和的作用是，它们在中产生的场恰好抵消了中的变化对中场的影响，使中的场保持不变。 如果把面看成包围的闭合曲面，则由（10-3）和（10-4）得面上的切向场满足 （10-5） （10-6）与（10-2）相同。所以对于区域来说，图10-1(b)与图10-1(a)的问题等效。注意，在上述讨论中并未涉及中源和媒质分布，即它们可以随意设定，这对分析是很有好处的。下面讨论几种常
4、用的特殊情况下的等效原理。l Love场等效原理 令图10-1(b)中区域中的场为零场，则面上的等效面流为 （10-7） 情况1：设中媒质分布与中相同，即、, 则等效问题就是自由空间中均匀填充、的源辐射问题。 情况2：设中填充理想导体。注意面即不属于也不属于，而是无限靠近两区域。所以这时和是无限靠近理想导体。根据互易定理，这时是不产生电磁场的。所以这时面上起作用的只有面磁流。 情况3：设中填充理想磁体。这时面磁流不产生场，起作用的只有面电流。情况2和3也印证了电磁场唯一性定理，只需切向电场或切向磁场之一就可以唯一确定场。l 多区域等效原理下面介绍更一般的等效原理，多个区域等效于多个原有问题。为
5、方便起见，不失一般性，这里只考虑双区域等效原理。 (a) (b)如图（10-2a）、（10-2b）分别表示两个电磁场原问题a和b。现在建立一个等效问题，在面之内等效于原问题a，在面之外等效于原问题b。建立方法如下：在面之外规定场、媒质和源分布与a问题相同，在面之内规定场、媒质和源分布与b问题相同。(c) (d)图10-2 双区域等效原理 (a) 原问题a (b)原问题b (c) 等效于面外的a和面内的b (d) 等效于面外的b和面内的a 为了支持这样的场，在面上必须有面电流和面磁流。根据边界条件，这些表面流是 （10-8）图（10-2c）显示了这一等效问题。对于问题a而言，等效表面流恰好抵消了
6、面以内区域的变化对面外区域的影响。而对于原问题b而言，等效表面流恰好抵消了面以外区域内的变化对面以内区域的影响。用类似的方式可建立另一个问题，等效于面之外的b问题和面之内的a问题，如图（10-2d）所示。注意，在每一种情况中，对于等效场的区域内，必须保证原有的源和媒质。现在，我们已清楚了等效原理的一般过程。确定等效表面流的依据是：当唯一性条件满足时，场与源之间是一一对应的。如果规定了空间内每一处的场和媒质，就能确定产生这一场的源。各种等效性就是用此方式导出的。网络a+网络b网络a+上述场的等效原理可以类比于电路中的等效原理。考虑图10-3(a) 所示的两个网络。就网络a而言，建立其等效问题方法
7、如下：设从网络连接口向网络b看去的无源输入阻抗（网络b中的电压源短路，电流源开路）为。把网络b用输入阻抗替代，在与网络a之间串接等于原问题中连接口两端电压的电压源，连接点之间并接等于原问题中流过连接口的电流的电流源，如图10-4(b) 所示，这类似于图10-1(b)。由于源阻抗并未受激励，所以可以用任意阻抗代替而不影响到网格a的激励。 (a) (b) 这类似于在图10-1(b) 的等效场中在内任意填充媒质。特别在源阻抗改为短路时，将电流源开路，只留下电压源激励网格a，如图10-3(c)所示，这类似于Love场等效原理中的情况2。如果源阻抗改为开路，只留下电流源来激励无源网络，如图10-3(d)
8、 所示，这类似于Love场等效原理中的情况3。网络a网络a+(c) (d)图10-3电路等效原理 (a) 原问题 (b) 一般等效源(c) 输入阻抗短路 (d) 输入阻抗开路 等效原理对于分析电磁孔隙问题特别有用。xzyba导体板同轴线例10-1如图10-4所示，一同轴线通向无限大接地导电平面。求此同轴线在半空间的辐射场。图10-4 同轴线通向无限大接地导电平面解：首先利用等效原理将原问题分成两个等效问题如图10-5(a)和(b)所示。孔隙面用导体封闭，所以在封闭的孔隙面上只有面磁流起作用。在孔隙面同轴线一侧，等效磁流为，而在孔隙面半空间一侧，等效磁流为，即。这里为原孔隙处的电场。等效磁流的设
9、置已保证了在孔隙面上切向电场连续。还应保证在孔隙面上切向磁场连续，即在孔隙面上满足 （10-9）其中是同轴线中的传输场。,分别是和在同轴线和半空间中产生的磁场。由于为线性场 所以有 （10-10）上式正是确定的方程。一般为积分方程。一旦确定了，则同轴线和半空间中的场也就可以确定了。xzyba同轴线zxy导体板zxy（a） (b) (c)图10-5等效原理应用 (a) 区域a等效（同轴线）(b) 区域b等效（半空间）(c) 自由空间中的圆环磁流 如何确定构成了求解孔隙问题的各种方法，如Bathe小孔耦合理论，矩量法等。一种更近似的方法是用同轴线中的传输场（TEM模）近似口面上的场，从而避免了求解
10、（10-10）。于是式中，V为同轴线内外导体间电位差。等效磁流为这是一个圆环磁流，如果（波长），则是一个小圆环磁流。我们知道，小圆环电流可以等效为磁流元。应用对偶原理，可知小圆环磁流可以等效为电流元，且, 总电矩 故等效电流元为应用镜像法，把图10-5(b)的问题等效为面磁流在无限大自由空间的辐射问题，如图10-5(c)所示。于是所要求解的辐射场为 利用等效原理研究孔隙问题虽然并未直接产生解，但把一个复杂问题分离成只个相对简单的问题，使分析和计算简化。10.2感应定理 感应定理的原理与等效原理是一致的。实质上感应定理也是等效原理的一种特殊应用。S障碍物S感应电流S 考虑如图10-6(a) 所示
11、的障碍物散射问题。 (a) (b) (c)图10-6 感应定理 (a) 原问题 (b) 散射场 (c) 等效感应 设入射场（无障碍物时源产生的场）为,，障碍物的散射场为,，则有障碍物时源辐射的总场为 （10-11）在障碍物之外，,和,都有相同的源，,是障碍物的散射场，可以想象为障碍物上的感应电流产生的。在障碍物之外,是无源场。如图10-6(b) 所示。 根据等效原理，可建立如下的等效问题；在障碍物内保留原有场,及媒质分布。在障碍物之外为散射场和。这样两个区域均无源。为了支持这样的场，面上就必须有等效表面流 （10-12）将（10-11）代入得 （10-13） 表面流,在障碍物之外产生散射场，在
12、障碍物之内则产生总场和。感应定理与等效原理的不同处在于：前者的表面流是已知的，而后者的待求（利用切向磁场连续条件）。前者的障碍物必须保留，既不能改变原问题的媒质分布而后者非等效区域的媒质可任意设定。如果障碍物是理想导体时，障碍物内和为零，所以在面上等效磁流。由于在导体表面上即，所以仍满足（10-13）。这反映了理想导体对场产生全反射。这时面电流不起作用。例10-2 计算大导电平面的雷达散射截面。如图10-7(a) 所示，一平面波垂直入射到位于的大导体平面上，入射场为。 yz0yz0yz0 (a) (b) (c)图10-7 导电平板的散射 (a) 原问题 (b) 等效感应 (c) 镜像法解：根据感应定理，在空间的散射场是由导电板表面等效磁流所产生的: 如图10-7(b) 所示。 为了求导电平板面磁流在空间产生的场，可近似认为面磁流是放在无限大导电平板上，于是可应用镜像法，把图10-7(b) 变成无限大均匀空间面磁流在空间产生的场，于是，在远区面磁流单元产生的场为面磁流在远区产生的总的散射场为 （10-14）雷达散射截面定义为 （10-15）式中，为入射波平均功率密度，为散射波平均功率密度。 对于均匀平面波所以
