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1、向量代数与空间解析几何一、 主要内容1 空间直角坐标系，点的坐标，两点间距离公式.2 向量的基本概念，向量间运算的定义及性质.3 向量的坐标，向量及其运算的坐标表示4 曲面方程的概念，柱面与旋转面.5 平面的方程，两平面间的位置关系，点到平面的距离.6 空间曲线的方程，曲线在坐标平面上的投影.7 直线的方程，直线与直线，直线与平面的位置关系.8 常见二次曲面的图形及其性质.二、 学习要求1 掌握空间直角坐标系，理解空间中点的坐标概念，掌握空间两点间距离公式.2 掌握向量的基本概念（表示、记号、模、单位向量、夹角等）；理解向量运算的定义，掌握运算法则；了解运算性质.3 深刻理解向量的投影、向量的
2、坐标概念；掌握向量、向量的模、向量的方向角及方向余弦，、单位向量的坐标表示式；熟练掌握向量的坐标公式；向量夹角的计算公式及两向量平行、垂直的条件.4 理解曲面和曲面的方程概念；了解建立曲面方程的一般方法；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面、母线平行于坐标轴的柱面的方程；掌握常见的二次曲面的方程及其图形.5 了解空间曲线的参数方程和一般方程；掌握空间曲线在坐标平面上的投影曲线的概念及其方程.6 熟练掌握并会建立各种形式的平面方程和直线方程；掌握平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的平行、垂直、相交的条件和夹角公式；会求点到平面，点到直线的距离；了解平面束及其应用.7 掌握常见的空间曲面（平面），空
3、间曲线（直线），空间立体图形，以及这些图形在坐标平面内投影的画法.三、 疑难解答1 向量之间能比较大小吗？答 不能，因为向量是既有大小，又有方向的量，而方向并无大小的概念. 向量概念中的“既有大小”是指向量的模的大小.2 在向量的数量积，向量积中，消去律成立吗？答 不成立. 数的乘法运算中消去律是指：若，则，而向量的数量及向量积中若 或 不一定有.例如：取则有，但取则有，但.3 向量积的运算应注意什么？答 （1）应特别注意向量及不满足交换律而满足反交换律，而，但 （2）求向量积的坐标时，要特别注意每个坐标的符号。即设 则其中第二个坐标的符号不要搞错.4 怎样理解“柱面的方程是的二元方程，且与其
4、准线方程相同.”答 说柱面的方程是的二元方程是指母线平行于坐标轴的柱面. 这种柱面一定以其母线所垂直的坐标平面内的一条曲线为准线（即柱面与坐标平面的交线）. 准线在平面解析几何中的方程是二元方程，形式上同于柱面方程. 但一般而言，柱面的母线不一定平行于坐标轴. 例如，平面 就是一个柱面，其方程就不是二元方程. 空间解析几何中，坐标面内的曲线方程是方程组，而不是二元方程. 例如，平面内的圆心在原点、半径为的圆周的方程是 ，而 在空间表示母线平行于轴的圆柱面.5. 方程组 一定表示空间曲线吗？答 不一定. 只有当 都表示曲面，且这两曲面相交时，才表示空间曲线. 例如，方程组 ，其中 仅表示点，而
5、是不过原点的旋转抛物面，所以这个方程组不表示任何几何图形.6. 如何将空间曲线的一般式方程转为化为参数式方程？答 选定参数. 将满足方程组的用参数表示.参数可选为中的一个. 例如 （1），这里平面内的圆：，取圆心角为参数有：.（2） 取为参数，则， 或 .7如何证明方程包含所有过直线的平面.答：首先方程是的一次方程，从而只要不同时为0，它就表示平面其次，直线上任何一个点的坐标都满足从而平面过直线.最后，是过的任何一个平面，是平面上的点，但不在直线上，令，则不同时为0，代入方程得这表示一个过的平面.又将坐标代入方程有：而方程表示过及点的平面，也即过的任何一个平面，都可用方程表示，这就证明了结论.
6、8如何绘制空间图形答 （1）掌握常见曲面及平面图形画法.比如母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的画法.比较有规律，应重点掌握.对平面，当均不为0时，化为截距式，易作图；当 而均不为0时，平面过原点，易找出平面上另外两点，作一个顶点在原点的三角形，就表示平面.当中有一个或两个为0时，平面从平行于某坐标轴可转化为母线平行于坐标轴的柱面作图.（2）通过确定平面与平面交线上两点，作出直线；通过分析想象曲面与曲面，曲面与平面的交线形状，确定出曲线上几个关键点而描绘出空间曲线图形.（3）曲面或平面所围的空间立体须分析、想象立体形状，画出有关曲面及曲面之间的交线，最后综合作出图形.（4）空间曲面片或立体在某坐标平面内的投影区域的画法：首先要找出立体或曲面片上最大范围的轮廓线，然后求轮廓线在坐标平面内的投影曲线，投影曲线，所围区域即所求.
