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1、第 4 讲万有引力定律及应用,一、开普勒三定律的内容、公式,自测 1 (2016全国卷14 )关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) 开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案B 解析开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照 这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律. 二、万有引力定律 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体
2、的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比. 2.表达式,1,r2,m1m2 FG，G 为引力常量，G6.671011Nm 2/kg2.,3.适用条件 公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视 为质点. 质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离.,4.天体运动问题分析 (1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供. (2)基本公式：,Mm,G r2 ma,v2,r,m ,v,2,mr ,GM r GM r3,2, T ,2,mrT2,r3 GM,mv,自测 2 我国发射的“天宫一号”和“神舟八
3、号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度 为 350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为 343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则( ) A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大 B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长 C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大 答案B 解析航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律,Mm,2,v2,rr, T ,222,和匀速圆周运动知识得 Gm mr mrma，解得 v,GM42r3,r ，TGM ，,GMGM,r3 ，a r2 ，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项
4、 B 正确.,三、宇宙速度 1.第一宇宙速度 第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为 7.9 km/s. 第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度. 第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度. (4)第一宇宙速度的计算方法.,v2,MmGM,由 G R2 m R 得 vR ；,v2,由 mgm R 得 v gR. 2.第二宇宙速度 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为 11.2 km/s. 3.第三宇宙速度 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为 16.7 km/s.,2,自测 3 教材 P48 第 3 题 金星的半径是地球的 0
5、.95 倍，质量为地球的 0.82 倍，金星表面 的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？ 答 案 8.9 m/s2 7.3 km/s,GMm,解析根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知 mg R2,地M地 R金,g (),g金M金 R地 故2,金星表面的自由落体加速度 g 金g,1 地0.82()2 m/s28.9 m/s2,GMmmv2,由万有引力充当向心力知 R2 R 得 v,0.95 GM R,地,所以v ,v金M金 R地,M地 R金,1,0.820.950.93,v 金0.937.9 km/s7.3 km/s.,命题点一 开普勒三定律的理解和应用 行星绕太阳的运动
6、通常按圆轨道处理. 开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动. a3 开普勒第三定律T2k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不同.但该定 律只能用在同一中心天体的两星体之间. 例 1(多选)(2017全国卷19 )如图 1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为 远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0，若只考虑海王星和太阳之间的相 互作用，则海王星在从 P 经过 M、Q 到 N 的运动过程中( ),图 1,3,T0,A.从 P 到 M 所用的时间等于4,从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大 从 P 到 Q 阶段，速率逐渐
7、变小 从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 答案CD,解析 由行星运动的对称性可知，从 P 经 M 到 Q 点的 1 ，根据开普勒第二定律可知， 时间为2T0 从 P 到 M 运动的速率大于从 M 到 Q 运动的速率，可知从 P 到 M 所用的时 1 ，选项 间小于4T0 A 错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项 B 错误；根据开普 勒第二定律可知，从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小，选项 C 正确；海王星受到的万有引力指向 太阳，从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D 正确. 变式 1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普
8、勒行星运动定律可知( ) A.太阳位于木星运行轨道的中心 火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案C 解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误.火 星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误.根据开普勒第三 定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常 数，C 正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星 在相同时间内扫过的面积不相等
9、，D 错误. 变式 2 (多选)如图 2 所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆.设卫星、月球 绕地球运行周期分别为 T 卫、T 月，地球自转周期为 T 地，则( ),图 2 A.T 卫T 月C.T 卫r 同r 卫，由开普勒第三定律T2k，可知，T 月T 同T 卫，又同步卫星的周期 T 同T 地，故 有 T 月T 地T 卫，选项A、C 正确. 变式 3 如图 3 所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B 是卫星运动的远地点和近地 点.下列说法中正确的是( ),图 3,4,卫星在 A 点的角速度大于 B 点的角速度 卫星在 A 点的加速度小于 B 点的加速度 卫星由 A 运动到 B
10、过程中动能减小，势能增加 卫星由 A 运动到 B 过程中引力做正功，机械能增大 答案B 解析由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在,远地点转过的角度较小，由 t 知，卫星在 A 点的角速度小于 B 点的角速度，选项 A 错误；,mM,设卫星的质量为 m，地球的质量为 M，卫星的轨道半径为 r，由万有引力定律得 G r2 ma，,GM,解得 a r2 ，由此可知，r 越大，加速度越小，故卫星在 A 点的加速度小于 B 点的加速度，,选项 B 正确；卫星由 A 运动到 B 的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项 C 错 误；卫星由 A 运动到 B 的过程
11、中，只有引力做功，机械能守恒，选项 D 错误. 命题点二 万有引力定律的理解 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体随地球自转的向心 力 F 向.,Mm,R,(1)在赤道上：G,2mg1m2R.,Mm,R,(2)在两极上：G,2mg0.,Mm,(3)在一般位置：万有引力 G R2 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和.,越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近,GMm,似等于重力，即 R2 mg. 2.星球上空的重力加速度 g,GmM GM 星球上空距离星体中心 rRh 处的重力加速度为 g
12、，mgRh2，得 gRh2.,所以g,gRh2,R2,.,5,3.万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力. 地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.,(2)两个推论 推论 1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即F 引 0. 推论 2：在匀质球体内部距离球心 r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为 r 的同,心球体(M)对其的万有引力，即 FG,Mm,r2,.,例 2如图 4 所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根 廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛
13、下一物体，物体的加速度( ),图 4 A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 答 案 D 解析设地球的平均密度为 ，物体在隧道内部离地心的距离为 r，则物体 m 所受的万有引,4,3,3r m,r2,4F4,力 FG3Gmr，此处的重力加速度 am3Gr，故选项 D 正确.,例 3由中国科学院、中国工程院两院院士评出的 2012 年中国十大科技进展新闻，于 2013 年 1 月 19 日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破 7 000 米分别排在第一、第二.若地球半径为 R，把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度 为 d，“天宫一号”
14、轨道距离地面高度为 h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速 度之比为( ),A.,RhRh,B.2 C.,D.,RdRd2RdRh2 RdRh,R3R2,答案C,解析令地球的密度为 ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g,M,GR2.,4GM,由于地球的质量为：M3R3，所以重力加速度的表达式可写成：g R2 ,4,G3R,3,R2,4,6,3GR.,根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为 d 的地球内部，受到,地球的万有引力即为半径等于(Rd)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力,R,4gRd Mm,加速度 g3G(Rd)，所以有 g
15、 .根据万有引力提供向心力 GRh2ma，“天,R2,GMagRdRh2,R3,，故 C 正确，A、B、,宫一号”的加速度为 aRh2，所以gRh2， a D 错误.,变式 4 “神舟十一号”飞船于 2016 年 10 月 17 日发射，对接“天宫二号”.若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则飞船所在处的重力加速度 大小为( ),Rh2Rh2,A.0 GM GMm GM B.C.D. h2,答案B 命题点三 天体质量和密度的估算 天体质量和密度常用的估算方法,例 4 假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0， 在赤
16、道的大小为 g，地球自转的周期为 T，引力常量为 G.地球的密度为( ),7,A.,GT2g,0,2,GT g0g,B. C.,2,3g0g 3g0 3 3g0,GTD.GT2g,答案B,解析物体在地球的两极时，mg0GMm,R,2,2 2 GMm,，物体在赤道上时，mgm( T ) RR2 ，又 M,3,4R3，联立以上三式解得地球的密度 ,3g0,GT2g0g,，故选项 B 正确，选项A、C、D 错误.,变式 5 观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间 t 通过的弧长为 l，该弧长 对应的圆心角为 (弧度)，如图 5 所示.已知引力常量为 G，“嫦娥三号”的环月轨道可近似 看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为( ),图 5,A.2,l3 Gt2,l3,B.Gt2 C.Gt2,l3 l,D.Gt2,答案B,解析“嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为：v,l ,t，角速
