中考数学专题训练精品

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1、规律探索 类型一数式规律 1. 我国战国时期提出了 “ 一尺之棰，日取其半，万世不竭” 这一命题， 用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其 长为 1 2尺，第二天再折断一半，其长为 1 4尺，第 n 天折断一半后得 到的木棍长应为 _尺 1 2n 2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律， 第 9 行从左至右第 5 个数是_ 第 2 题图 41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为123n n（n1） 2 ，第 8 行最后一个数为 8 9 2 366，则第 9 行从 左至右第 5 个数是36541. 3. 观察下列关于自然数的式子： 第一个式子：

2、4 121 2 第二个式子： 4 223 2 第三个式子： 4 325 2 根据上述规律，则第2019 个式子的值是 _ 8075 【解析】4 12123，4 22327， 4 325211， 4n2(2n1)24n1，第 2019 个式子的值是 4 201918075. 4. 将数 1 个 1，2 个1 2，3 个 1 3，n 个 1 n(n 为正整数 )顺次排成一列： 1，1 2， 1 2 ， 1 3， 1 3， 1 3， 1 n， 1 n，记 a11，a2 1 2，a 31 2，S 1 a1，S2a1a2，S3a1a2a3，Sna1a2an，则 S2019 _ 63 3 64 【解析】根

3、据题意，将该数列分组，1 个 1 的和为 1，2 个 1 2 的 和为 1，3 个 1 3的和为 1，；123632016 个数，则第 2019 个数为 64 个 1 64的第 3 个数，则此数列中， S 20191 633 1 64 63 3 64. 类型二图形规律 5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将OAB 变换成OA1B1，第 二 次 将 OA1B1变 换 成 OA2B2， 第 三 次 将 OA2B2变 换 成 OA3B3，已知 A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)， B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)观察每次变换前后的三角形的变化

4、， 按照变换规律，则点An的坐标是 _ 第 5 题图 (2n，3)【解析】 A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)， 纵坐标不变，为 3，横坐标都和 2 有关，为 2n，即点 An 的坐标是 (2n， 3) 6. 如图，把正方形铁片 OABC 置于平面直角坐标系中， 顶点 A 的坐标 为(3，0)，点 P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶 点按顺时针方向依次旋转90 ，第一次旋转至图位置，第二次旋转 至图位置， ，则正方形铁片连续旋转2019 次后，点 P 的坐标为 _ 第 6 题图 (6058，1)【解析】铁片OABC 为正方形， A(3，0)，P(1

5、，2)， 正方形铁片 OABC 的边长为 3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2， P3，P4的坐标分别为 (5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个 循环，对应的点的横坐标就增加12.而 2019 45043，即 504 个 循环周期后点P2016的横坐标为 504 1216049，纵坐标为 2，所以 点 P2019的横坐标为 604996058，纵坐标为 1.故 P2019(6058，1) 第 6 题解图 7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1 个单位长度的半圆O1， O2，O3，组成一条平滑的曲线，点P 从原点 O 出发，沿这条曲线 向右运动，速度为每秒 2个单

6、位长度，则第 2019 秒时，点 P 的坐标是 _ 第 7 题图 (2019，1)【解析】圆的半径都为1，半圆的周长 ，以时间 为点 P 的下标观察发现规律：P0(0，0)，P1(1，1)，P2(2，0)，P3(3， 1)，P4(4，0)，P5(5，1)，P4n(4n，0)，P4n1(4n1，1)，P4n 2(4n2，0)，P4n3(4n3，1)2019 45043，第 2019秒 时，点 P 的坐标为 (2019，1) 8. 如图，已知菱形OABC 的顶点 O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转， 每秒旋转 45 ，则第 60 秒时，菱形的对角线交点D 的坐 标为_ 第 8 题

7、图 (1，1)【解析】菱形 OABC 的顶点 O(0，0)，B(2，2)，BO 与 x 轴的夹角为 45 ，菱形的对角线互相垂直平分，点D 是线段 OB 的中点，点 D 的坐标是 (1，1)，菱形绕点 O 逆时针旋转，每 秒旋转 45 ，360 45 8，每旋转 8 秒，菱形的对角线交点就回到 原来的位置 (1，1)，60 874 ，第 60 秒时是把菱形绕点O 逆 时针旋转了 7 周回到原来位置后，又旋转了4 秒，即又旋转了4 45 180 ，点 D 的对应点落在第三象限， 且对应点与点 D 关于原点 O 成中心对称，第60 秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为 (1， 1) 9. 如图， M

8、ON60 ， 作边长为 1 的正六边形 A1B1C1D1E1F1， 边 A1B1、 F1E1分别在射线 OM、ON 上，边 C1D1所在的直线分别交OM、ON 于 点 A2、F2，以 A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边 C2D2所在的直 线 分 别交 OM、 ON 于 点 A3、 F3， 再 以 A3F3为 边作正 六 边形 A3B3C3D3E3F3，依此规律，经第n 次作图后，点 Bn到 ON 的距离 是_ 第 9 题图 3n 1 3【解析】由题可知， MON60 ，设 Bn到 ON 的距离为 hn， 正六边形 A1B1C1D1E1F1的边长为 1，A1B11，易知A1OF1

9、为等 边三角形， A1B1OA11，OB12，则 h12 3 2 3，又OA2 A2F2A2B23，OB26，则 h26 3 2 3 3，同理可得： OB3 18， 则 h318 3 2 9 3， ， 依此可得 OBn2 3n 1， 则 h n2 3 n1 3 2 3n 1 3.Bn到 ON 的距离 hn 3n 1 3. 10. 如图， 正方形 AOBO2的顶点 A的坐标为 A(0， 2)， O1为正方形 AOBO2 的中心；以正方形AOBO2的对角线 AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3A1，O2为正方形 ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线 A1B 为边，在 A1B

10、 的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形 A1BB1O4的 中心；再以正方形 A1BB1O4的对角线 A1B1为边，在 A1B1的右侧作正方 形 A1B1O5A2，O4为正方形 A1B1O5A2的中心； ；按照此规律继续下 去，则点 O2018的坐标为 _ 第 10 题图 (210102，21009)【解析】由 A(0，2)和 A1(2，4)可知直线 AA1的解析 式为 yx2，由图可知点 A1，A2，An的纵坐标分别为 2 2，23， 2n 1，将 y2n1 代入 yx2，得 2n 1x2，x2n12，点 An的坐标为 (2n 12，2n1)，由图可知 O 2n横坐标与 An的横坐标相同

11、， O2n纵坐标是 An的纵坐标的 1 2，O2n 的坐标为 (2n 12，2n)，当 n 1009时，O2018的坐标为 (210102，2 1009) 函数综合题 类型一一次函数与反比例函数综合题 1. 如图，一次函数y1k1xb 与反比例函数y2k 2 x (x0)的图象相交 于 A，B 两点，且与坐标轴的交点为(6，0)，(0，6)，点 B 的纵坐标 为 2. (1)试确定反比例函数的解析式； (2)求AOB 的面积； (3)直接写出不等式 k1xbk 2 x 的解 第 1 题图 解：(1)一次函数与坐标轴的交点为(6，0)，(0，6)， 6k1b0 b6 ，解得 k11 b6 ， 一

12、次函数的解析式为y1x6， 点 B 的纵坐标为 2，B(4，2)， 将 B(4，2)代入 y2 k2 x ，得 k2=42=8， 反比例函数的解析式为y 8 x； (2)点 A 与点 B 是反比例函数与一次函数的交点， x6 8 x，解得 x2 或 x4， A(2，4)， S AOB 26 2 1 46 2 1 6； (3)观察图象知， k1xb0 时，不等式 3 4xb k x的解集； (3)若点 P 在 x 轴上，连接 AP，且 AP 把ABC 的面积分成 13 两部 分，求此时点 P 的坐标 第 4 题图 解：(1)直线 y1x4，y2 3 4 xb 都与双曲线yk x交于点 A(1，

13、m)， 将 A(1，m)分别代入三个解析式，得 m14 m 3 4b m k 1 ，解得 m3 b9 4 k3 ， y23 4x 9 4，y 3 x； (2)当 x0 时，不等式 3 4xb k x的解集为 x1； (3)将 y0 代入 y1x4，得 x4， 点 B 的坐标为 (4，0)， 将 y0 代入 y2 3 4x 9 4，得 x3， 点 C 的坐标为 (3，0)， BC7， 又点 P 在 x 轴上， AP 把ABC 的面积分成 13 两部分，且 ACP 和ABP 等高， 当 PC 1 4BC 时， S ACP S ABP 1 3， 此时点 P 的坐标为 (3 7 4，0)， 即 P(

14、5 4，0)； 当 BP1 4BC 时， ACP ABP S S 1 3， 此时点 P 的坐标为 (47 4，0)，即 P( 9 4，0)， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为 ( 5 4，0)或( 9 4，0) 类型二一次函数与二次函数综合题 5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y 1 4x 2bxc 经过点 A(2，0)，B(8，0) (1)求抛物线的解析式； (2)点 C 是抛物线与 y 轴的交点，连接 BC、AC，设点 P 是抛物线上在 第一象限内的点， PDBC，垂足为点 D. 是否存在点 P，使线段 PD 的长度最大，若存在，请求出点P 的坐 标；若不存在，请说明理由；

15、 当PDC 与COA 相似时，求点 P 的坐标 第 5 题图 解：(1)将 A(2，0)，B(8，0)代入 y 1 4x 2bxc 得， 12bc0 168bc0，解得 b3 2 c4 ， 抛物线的解析式为y 1 4x 23 2x4； (2)由(1)知 C(0，4)，又 B(8，0)，易知直线 BC 的解析式为 y 1 2x 4. 如解图，过点P 作 PGx 轴于点 G，PG 交 CB 于点 E， 第 5 题解图 OB=8，OC=4， BC=54 22 OCOB. 在 RtPDE 中， PDPE sinPEDPE sinOCBPE BC OB =2 5 5 PE， 当线段 PE 最长时， PD

16、 的长度最大 设 P(t， 1 4t 23 2t4)， 则 E(t， 1 2t4)，即 PG 1 4t 23 2 t4，EG 1 2t4， PEPGEG 1 4t 22t 1 4(t4) 24(0t8)， 当 t4 时，PE 有最大值 4，此时点 P 坐标为(4，6)， 即当 P 点坐标为 (4，6)时，PD 的长度最大； 由 A(2，0)，B(8，0)，C(0，4)，易知 ACB90 ， COABOC， 当 RtPDC 与 RtCOA 相似时，就有 RtPDC 与 RtBOC 相 似， 相似三角形对应角相等， PCDCBO 或PCDBCO. (i) 如解图，若 PCDCBO(RtPDCRtCOB)，此时有 CPOB， 第 5 题解图 C(0，4)， yP4， 1 4x 23 2x44， 解得 x6 或 x0(舍去)， 即 RtPDC