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1、湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东七校2020届高三数学12月联考试题 文总分: 150分 时量:120分钟 考试时间:2019年12月8日第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、集合,,则( ) A. B. C. D.2、复数满足,则( ) A. 2 B. C.1 D.3、已知条件,条件,则是成立的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件4、莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把120个面包分给5个人,使每个人所得份量成等差数列,且较大的三份之和的七分之
2、一是较小的两份之和,则最大一份的个数为( ) A.2 B.15 C.32 D.465、函数()在处取得最大值,则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是奇函数6、已知曲线在处的切线与直线垂直,则实数的值为( ) A. 2 B. C. D.7、在中,点满足,则( ) A. B. C. 4 D.88、已知在处取得极值,则的最小值为( )A. B. C. D. 9、,则( ) A. B. C. D.10、函数的图象大致为( ) 11、过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线,与左支交于点,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D.512、已知函数,若关于的方程无实根,则实数的取值范围
3、为( ) A. B. C. D. 第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题,每道试题考生都必须做答第22题第23题为选考题,考生根据要求做答二、填空题:本大题4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡相应位置13、已知与之间的一组数据如下表所示: 当变化时,回归直线必经过定点 14、若满足约束条件,则的最大值等于 15、已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上,它们的底面边长为2,体积的比值为,则该球的表面积为 16、如图在中,为边上一点若,则的取值范围为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、(本小题满分12分)某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否
4、与观众性别有关,随机抽取了30名男性和30名女性观众,抽查结果用等高条形图表示如下:男性观众 女性观众()根据该等高条形图,完成下列22列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关?喜欢节目A不喜欢节目A总计男性观众女性观众总计60()从男性观众中按喜欢节目A与否,用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查从这5名中任选2名,求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率 18、(本小题满分12分)如图所示,四棱锥的底面是梯形,且平面,是中点,()求证:;()若,求三棱锥的高 19、(本小题满分12分)已知数列的前项和为,()求证:数列是等
5、差数列;()若,设数列的前n项和为Tn,求T2n. 20、(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左顶点为,右焦点为,为椭圆上两点,圆.()若轴,且满足直线与圆相切,求圆的方程;()若圆的半径为2,点满足,求直线被圆截得弦长的最大值. 21、(本小题满分12分)已知函数, ()讨论函数的单调性; ()当时,恒成立,求的取值范围 请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数)以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系()写出的极坐标方程;()设曲线经
6、伸缩变换后得到曲线,曲线()分别与和交于,两点,求 23、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知不等式的解集为()求的值;()设关于的方程()有实数根,求实数的值 湖南省湘东七校2019年下期高三联考文科数学试题答案及评分参考 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算每小题5分,满分60分 1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B 7、D 8、C 9、B 10、C 11、C 12、D 12.解析:因为函数,所以方程无实根等价于函数的图像与直线无交点.由图像知,若,则直线与曲线必有交点,则.设直线与曲线相切时,切点为,由,得解得,则,所以切线方程为得.由图像知实数的取值范围为,选D
7、 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算每小题5分,满分20分 13、 14、2 15、 16、 15.解析:易知球心在两四棱锥顶点连线的中点,设体积较小的锥体的高为,则解得,半径为,所以表面积为三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等满分12分解:()由题意得列联表如下:喜欢节目A不喜欢节目A总计男性观众24630女性观众151530总计3921603分假设喜欢娱乐节目A与观众性别无关,则的观测值,5分所以能在犯错误的概率不超过
8、0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关6分 ()利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名,其中喜欢娱乐节目A的人数为,不喜欢节目A的人数为7分被抽取的喜欢娱乐节目A的4名分别记为;不喜欢节目A的1名记为则从5名中任选2人的所有可能的结果为:,共有10种9分其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有,共4种 10分所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是:12分 18、本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等满分12分()证明:取的中点,连结,如图所示因为点是
9、中点,所以且1分又因为且,所以且,2分所以四边形为平行四边形,所以,3分因为平面,平面,所以4分所以5分()解:设点为的中点,连结,如图所示,因为,由()知,6分又因为,所以,所以7分所以为正三角形,8分所以,且9分因为平面,所以平面10分因为平面,所以,11分又因为,所以平面所以三棱锥的高为12分19、本小题主要考查与的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想等满分12分解:()证明:因为当时,所以1分所以,2分因为所以,所以,3分所以4分所以是以为首项,以1为公差的等差数列6分()由()可得,所以. 8分 9分 12分 20、解:()因为椭圆
10、的方程为,所以,. .1分因为轴,所以,而直线与圆相切,根据对称性,可取, .2分则直线的方程为,即. .3分由圆与直线相切,得,所以圆的方程为. .5分()易知,圆的方程为.当轴时,所以,此时得直线被圆截得的弦长为. .7分 当与轴不垂直时,设直线的方程为,首先由,得,即,所以(*). .9分联立,消去,得,在时代入(*)式,得. 10分由于圆心到直线的距离为,所以直线被圆截得的弦长为,故当时,有最大值为.综上,因为,所以直线被圆截得的弦长的最大值为. 12分 21、解:()的定义域为, .1分若则在上单调递增, .2分若则由得,当时,当时,在上单调递增,在单调递减.综上:当时,在上单调递增
11、,当时, 在上单调递增,在单调递减. .5分(),令,令,.7分 . .8分(2),以下论证同(1)一样,所以不符合题意 .10分,综上所述,的取值范围是 .12分 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22、选修;坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等满分10分解:()将消去参数,化为普通方程为,即,2分将代入,得,4分所以的极坐标方程为5分()将代入得,所以的方程为7分的极坐标方程为,所以又,所以10分23、选修:不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等 满分10分解:()由得,或2分解得依题意5分()因为当且仅当时取等号,7分因为关于的方程()有实数根,所以8分另一方面,所以,9分所以或10分