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1、1 实际问题与一元一次方程（一）基础实际问题与一元一次方程（一）基础 【学习目标学习目标】 1.1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤； 2.2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路 【要点梳理要点梳理】 知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题列方程解应用题的基本思路为：问题方程方程解答由此可得解决此类解答由此可得解决此类 分析 抽象 求解 检验 题的一般步骤为：审、找、设、列、解、检、答题的一般步骤为：审、
2、找、设、列、解、检、答 要点诠释：要点诠释： （1 1）“审审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系。是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系。 （2）“找找”寻找等量关系；寻找等量关系； （3 3）“设设”就是设未知数，一般求什么就设什么为就是设未知数，一般求什么就设什么为x x，但有时也可以间接设未知数；，但有时也可以间接设未知数； （4 4）“列列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类 量，单位
3、要统一；量，单位要统一； （5 5）“解解”就是解方程，求出未知数的值就是解方程，求出未知数的值 （6 6）“检检”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （7 7）“答答”就是写出答案，注意单位要写清楚就是写出答案，注意单位要写清楚 知识点二、常见列方程解应用题的几种类型知识点二、常见列方程解应用题的几种类型 1 1和、差、倍、分问题和、差、倍、分问题 （1 1）基本量及关系：增长量原有量）基本量及关系：增长量原有量增长率，增长率， 现有量原有量现有量原有量+ +增长量，现有量原有量
4、增长量，现有量原有量- -降低量降低量 （2 2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增 长率等长率等 2 2行程问题行程问题 （1 1）三个基本量间的关系：）三个基本量间的关系： 路程路程= =速度速度时间时间 （2 2）基本类型有：）基本类型有： 相遇问题（或相向问题）：相遇问题（或相向问题）：基本量及关系：相遇路程基本量及关系：相遇路程= =速度和速度和相遇时间相遇时间 寻找相等关系：甲走的路程寻找相等关系：甲走的路程+ +乙走的路程两地距离乙走的路程两地距
5、离 追及问题：追及问题：基本量及关系：追及路程基本量及关系：追及路程= =速度差速度差追及时间追及时间 寻找相等关系：寻找相等关系： 第一，第一， 同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程；同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程； 第二，第二， 同时不同地出发：前者走的路程同时不同地出发：前者走的路程+ +两者相距距离追者走的路程两者相距距离追者走的路程 航行问题：航行问题：基本量及关系：顺流速度基本量及关系：顺流速度= =静水速度静水速度+ +水流速度，水流速度， 逆流速度逆流速度= =静水速度水流速度，静水速度水流速度， 顺水速度逆水速度顺水速度逆水速度22水流速度；水流速度； 寻找相等
6、关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来 考虑考虑 3 3工程问题工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1 1基本关系式：基本关系式： （1 1）总工作量）总工作量= =工作效率工作效率工作时间；工作时间； （2 2）总工作量）总工作量= =各单位工作量之和各单位工作量之和 4 4调配问题调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑 2
7、 【典型例题典型例题】 类型一、和差倍分问题类型一、和差倍分问题 12011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5. .8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运亿立方米，其中居民家庭用水比生产运 营用水的营用水的3倍还多倍还多0. .6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米? 【答案与解析答案与解析】设生产运营用水设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水亿立方米，则居民家庭用水( (5. .8- -x) )亿立方米亿立方米 依题意，得依题意，得5. .8- -x3x+0. .6 解得解
8、得x1. .3 5. .8- -x5. .8- -1. .34. .5（亿立方米）（亿立方米） 答：生产运营用水答：生产运营用水1. .3亿立方米，居民家庭用水亿立方米，居民家庭用水4. .5亿立方米亿立方米 【总结升华总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x，另外一个用含，另外一个用含x的式子表示本题的相的式子表示本题的相 等关系是生产运营用水量等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量居民家庭用水总量5. .8亿立方米亿立方米 举一反三：举一反三： 【变式变式】(】(麻城期末考试麻城期末考试) )麻商集团三个季度共销售冰箱麻商集团三个季
9、度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍倍 第三个季度销售量是第一个季度的第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台? 【答案答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为台，第三季度销售量为4x台，台， 依题意可得：依题意可得：x+2x+4x2800， 解得：解得：x400 答：麻商集团第二个季度销售冰箱答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台台 类型二、行程问题类型二、行程问题
10、1.1.一般问题一般问题 2小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有千米，那么走完预订时间离县城还有0. .5千米，如千米，如 果他每小时走果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城试问学校到县城的距离是多少千米千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城试问学校到县城的距离是多少千米? 【答案与解析答案与解析】 解：设小山娃预订的时间为解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：小时，由题意得： 4x+0. .55( (x- -0. .5) )，解得，解得x3 所以所以4x+0. .543+0. .512. .5(
11、(千米千米) ) 答：学校到县城的距离是答：学校到县城的距离是12. .5千米千米 【总结升华总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法即所设的不是最后所求的，而是通过求当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法即所设的不是最后所求的，而是通过求 其它的数量间接地求最后的未知量其它的数量间接地求最后的未知量 举一反三：举一反三： 【变式变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米千米/ /时，下坡的速度为时，下坡的速度为20千米千米/ /时，求汽车的时，求汽车的 平均速度平均速度 【答案答案】 解：设这段坡路长为解：设这段坡路长为a千
12、米，汽车的平均速度为千米，汽车的平均速度为x千米千米/ /时，则上坡行驶的时间为时，则上坡行驶的时间为小时，下坡行驶的时小时，下坡行驶的时 10 a 间为间为小时依题意，得：小时依题意，得：， 20 a 2 1020 aa xa 化简得：化简得： 340axa 显然显然a0，解得，解得 1 13 3 x 3 答：汽车的平均速度为答：汽车的平均速度为千米千米/ /时时 1 13 3 2.2.相遇问题（相向问题）相遇问题（相向问题） 【高清课堂：实际问题与一元一次方程高清课堂：实际问题与一元一次方程( (一一) ) 388410388410 相遇问题相遇问题】 3 A A、B B两地相距两地相距1
13、00km100km，甲、乙两人骑自行车分别从，甲、乙两人骑自行车分别从A A、B B两地出发相向而行，甲的速度是两地出发相向而行，甲的速度是23km/h23km/h，乙的速度，乙的速度 是是21km/h21km/h，甲骑了，甲骑了1h1h后，乙从后，乙从B B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？ 【答案与解析答案与解析】 解解: :设甲经过设甲经过x x小时与乙相遇小时与乙相遇. . 由题意得：由题意得： 23 12321 (1)100 x 解得，解得，x=2.75x=2.75 答：甲经过答：甲经过2.752.75小时与乙相遇小时与乙相遇 【总结升华总结升华】等
14、量关系：甲走的路程等量关系：甲走的路程+乙走的路程乙走的路程=100km 举一反三：举一反三： 【变式变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km45km的两地相向而行，的两地相向而行，2 2小时相遇，每小时甲比乙多走小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km2.5km ，求甲、乙每小时各行驶多少千米，求甲、乙每小时各行驶多少千米? ? 【答案答案】 解：设乙每小时行驶解：设乙每小时行驶x x千米，则甲每小时行驶千米，则甲每小时行驶( (x x+2.5)+2.5)千米，根据题意，得：千米，根据题意，得： 2(2.5)245xx 解得：解得：10 x （千米）（千米）2.
15、5102.512.5x 答：甲每小时行驶答：甲每小时行驶12.512.5千米，乙每小时行驶千米，乙每小时行驶1010千米千米 3.3.追及问题（同向问题）追及问题（同向问题） 4一队学生去校外进行军事野营训练，他们以一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米千米/时的速度行进，走了时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧分钟时，学校要将一紧 急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米千米/ /时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可 以追上学生队伍以追上学生队伍? 【答案与解析答案与解析】 解：设
16、通讯员解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，小时可以追上学生队伍，则根据题意， 得得， 18 1455 60 xx 得：得：， 小时小时= =10分钟分钟 1 6 x 1 6 答：通讯员用答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍分钟可以追上学生队伍 【总结升华总结升华】追及问题：路程差追及问题：路程差=速度差速度差时间，此外注意：方程中时间，此外注意：方程中x表示小时，表示小时，18表示分钟，两边单位表示分钟，两边单位 不一致，应先统一单位不一致，应先统一单位 4.4.航行问题（顺逆风问题）航行问题（顺逆风问题） 5一艘船航行于一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是
