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1、,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求
2、曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例 3,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,1.一阶线性方程,方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2 用通解公式,三、小结,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,思考题,求微分方程 的通解.,思考题解答,1.判别下列方程类型:,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,思考与练习,2. 求一连续可导函数,使其满足下列方程:,令,提示:,则有,线性方程,利用公式可求出,3. 设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解: 1) 先解初值问题,利用通解公式, 得,利用,得,故有,2) 再解初值问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3) 原问题的解为,练 习 题,练习题答案,
