《八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题[整理]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题[整理]（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 八个有趣模型八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球搞定空间几何体的外接球与内切球 文：付雨楼、段永建 今天给大家带来 8 个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源 自付雨楼老师分享的模型，教研QQ 群(群号： 545423319)成员段永建老师进一 步作图编辑优化分享。 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） c a b 图 1 C P A B a b c 图 2 P C B A a b c 图 3 C B P A a b c 图 4 P C O2 B A 方法：找三条两两垂直的线段，
2、直接用公式，即，求出 2222 )2(cbaR 222 2cbaRR 例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ C 416 ） A B C D16202432 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 39 解：（1），选 C； 16 2 haV2a2416444 2222 haaR24S （2），93334 2 R94 2 RS （3）在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且,若侧棱2 3SA ,则MNAM 正三棱锥外接球的表面积是 。ABCS 36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直正三棱锥的对棱互垂直。证明
3、如下： 如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三BCAB,ED,CDAE,CDAE,HSHH 角形的中心，平面，ABCSHABCABSH ，平面，BCAC BDAD ABCD ABSCD ，同理：，即正三棱锥的对棱互垂直，SCAB SABC SBAC 本题图如图（3）-2， ，MNAM MNSB/ ，平面，SBAM SBAC SBSAC (3)图 -1 H E D B AC S 2 ，SASB SCSB SASB SABC 平面，SASBCSCSA 故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，ABCS ，即，36)32()32()32()2( 2222 R364 2 R 正三棱锥外接球的
4、表面积是ABCS 36 （4 4）在四面体SABC中，ABCSA平面 则该四面体的外接球的表面积为（ D ） , 1, 2,120 ABACSABAC11. A 7 . B 3 10 .C 3 40 .D （5 5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、，那么它的外接球的表面积是 643 （6 6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 的等腰直角三角形和边长为 的正方形，则该几11 何体外接球的体积为 解析：解析：（4）在中，ABC7120cos2 222 BCABABACBC ，的外接球直径为，7BCABC 3 72 2 3 7 sin 2 BAC BC r ，选D D 3
5、 40 4) 3 72 ()2()2( 2222 SArR 3 40 S （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则cba, Rcba, ， 6 8 12 ac bc ab 24abc3a4b2c29)2( 2222 cbaR294 2 RS ， （6），3)2( 2222 cbaR 4 3 2 R 2 3 R ， 2 3 8 33 3 4 3 4 3 RV 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1题设：如图 5，平面PAABC 图 5 AD P O1 O C B (3)图 -2 M N A B C S C A P B 3 解题步骤： 第
6、一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直 ABCA 径，连接，则必过球心；ADPDPDO 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半 1 OABC 1 OOABC 1 O 径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得rDO 1 ），；r C c B b A a 2 sinsinsin PAOO 2 1 1 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：； 222 )2()2(rPAR 22 )2(2rPAR 2 1 22 OOrR 2 1 2 OOrR 2题设：如图 6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等PABCABCP 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点ABCP
7、ABCP 图 6 P ADO1 O C B 图 7-1 P A O1 O C B 图 7-2 P A O1 O C B 图 8 P A O1 O C B 图 8-1 D P O O2 A B C 图 8-2 P O O2 A BC 图 8-3 D P O O2 A B 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；OABC 1 O 1 ,OOP 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 1 OrAO 1 hPO 1 第三步：勾股定理：，解出 2 1 2 1 2 OOAOOA 222 )(rRhRR 方法二：方法二：小圆直径参与构造大圆。 例 2 一个几何体的三视图
8、如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A3 B 2 C 3 16 D以上都不对 解：选 C，, 22 1)3(RR, 22 1323RRR 4 ,0324R , 3 2 R 3 16 4 2 RS 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直） 图 9-1 A C B P 图 9-2 AO1 O C B P 图 9-3 P AO1 O C B 图 9-4 AO1 O C B P 1题设：如图 9-1，平面平面，且（即为小圆的直径）PACABCBCAB AC 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；OPACPACrAC2 第二步：在中，
9、可根据正弦定理，求出PACR C c B b A a 2 sinsinsin R 2如图 9-2，平面平面，且（即为小圆的直径）PACABCBCAB AC 2 1 2 1 2 OOCOOC 2 1 22 OOrR 2 1 2 2OORAC 3如图 9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的PACABCBCAB ACPABC 外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是ABCP ABCP ABCP 圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；OABC 1 O 1 ,OOP 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 1 OrAO
10、1 hPO 1 第三步：勾股定理：，解出 2 1 2 1 2 OOAOOA 222 )(rRhRR 4如图 9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则PACABCBCAB ACACPA 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：； 222 )2()2(rPAR 22 )2(2rPAR 5 2 1 22 OOrR 2 1 2 OOrR 例 3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 1，底面边长为，则该球的表面积为 32 。 （2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ABCDS 2 解：（1）由正弦定理或找球心都可得，72R494 2 RS （2）方
11、法一：找球心的位置，易知，故球心在正方形的中心处，1r1hrh ABCD1R 3 4 V 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，SACSACRt ，22R1R 3 4 V （3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥ABCP 3PCPBPAPAABC 60 外接球的体积为（ ） A B. 3 C. 4 D. 4 3 解：选 D，圆锥在以的圆上，CBA, 2 3 r1R （4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直 径,且2SC ，则此棱锥的体积为（）A A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2
12、 解：， 3 6 ) 3 3 (1 222 1 rROO 3 62 h 6 2 3 62 4 3 3 1 3 1 ShV 类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 图 10-1 C1 B1 A A1 O1 O O2 B C 图 10-2 C1 B1 A A1 O1 O O2 B C 图 10-3 C1 B1 A A1 O1 O O2 B C 题设：如图 10-1，图 10-2，图 10-3,直直三三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可 以是任意三角形） 6 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；O 1 OABC 1
13、OOABC 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 1 OrAO 1 hAAOO 2 1 2 1 11 hAA 1 第三步：勾股定理：，解出 2 1 2 1 2 OOAOOA 222 ) 2 (r h R 22 ) 2 (hrRR 例 4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 8 9 3 解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，ahr 2 1 a 底面积为， 8 33 ) 2 1 ( 4 3 6 2 S 8 9 8 33 hShV柱3h1) 2 1 () 2 3 (
14、 222 R ，球的体积为1R 3 4 V （2）直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在同一球面上，若 1 2ABACAA,120BAC，则此 球的表面积等于 。 解：，32BC4 120sin 32 2 r2r5R 20S （3）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，EABABCD ，则多面体的外接 60, 2, 3AEBADEBEAABCDE 球的表面积为 。16 解析：折叠型，法一：的外接圆半径为，EAB3 1 r ，1 1 OO ；法二：，231R 2 3 1 MO 2 13 22 DOr4 4 13 4 3 2 R2R16S （4）在直三棱柱中，则直三棱柱的外接 111 CBA
15、ABC 4, 3 , 6, 4 1 AAAACAB 111 CBAABC 球的表面积为 。 3 160 解析：，28 2 1 6423616 2 BC72BC 3 74 2 3 72 2r 3 72 r ， 3 40 4 3 28 ) 2 ( 2 1 22 AA rR 3 160 S O O2 M D B A C E O1 7 类型五、折叠模型类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠( (如图如图 11)11) 第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；BCDBCDBD A 1 H 2 H 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 1 H 2 HBCDBD A OOCOE, 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 1 OEH 1 OH 1 OCHRt 22 1 2 1 OCCHOH 例 5 三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱ABCP PACABCPACABC2 锥外接球的半径为 .ABCP 解析：， 3 4 60sin 2 22 21 rr 3 2 21 rr 3 1 2 HO ，； 3 5 3 4 3 1 2
