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1、第9讲 数学归纳法与第二数学归纳法一知识解读：数学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法在数学竞赛中占有很重要的地位1数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果当（）时，成立；假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据对一切正整数时，成立（2）第二数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果当（）时，成立；假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据对一切正整数时，成立2数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法当时，成立，假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据对一切正整数时，成立（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果对无限多个
2、正整数成立；假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据对一切正整数时，成立3应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数都成立，但命题本身对也成立，而且验证起来比验证时容易，因此用验证成立代替验证，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步，有意前移起点（2）起点增多：有些命题在由向跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设时命题成立”不可，需
3、要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明5归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法二解题指导：1用数学归纳法证明：（）证明:（1）当时，左边112，右边，不等式显然成立 （2）假设时，不等式成
4、立，即那么，当时， 当时，不等式亦成立 由（1）、（2）证明知，不等式对一切都成立2已知对任意，且，求证：证明:（1）当时，左边 ，右边 ，等式成立. （2）假设时，等式成立，即那么，当时， 又=当时，不等式亦成立 由（1）、（2）证明知，等式对一切都成立3如果正整数不是6的倍数，则不是7的倍数证明提示：1986除以7余5，所以我们只需要看5的n次方是不是7的倍数即可。从n=1开始，5n除以7分别余5,4,6,2,3,1,5,4,.看出这个数列以6为周期，所以其实不管正整数是不是6的倍数，1986n都不是7的倍数。4设都是正数，证明5已知函数的定义域为，对于区间内的任意两数均有求证：对于任意，
5、均有改题：6试证：对一切大于等于1的自然数都有7试证：对一切自然数（）都有证明： 8证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形所以，综上可得原命题成立；8个正方形7个正方形6个正方形9设，求证：对一切均有证明：若我们仅仅假设ak1而不进一步限制其范围，由ak+1=+a是很难推出ak+11的.考察a1，a1=1+a，这使我们可以尝试将命题强化为：对一切正整数n，有1an.这样为完成递推步设置铺垫.首先证明强化后的命题：1an.当n=1时， 因为a1=1+a且1+a=，故1a1，命题成立；假设当n=k时，结论成立，即1ak+a=1，同时ak+1=+a1+a.所以n=k+1时命题也成立.综上
6、对一切正整数n，有1an43知命题成立；假设当n=k时 命题成立，即kk+1(k+1)k，那么，由=(k+1)()k+1(k+1)()k+1(应用放缩)=1,知(k+1)k+2(k+2)k+1, 故当n=k+1时命题成立，综上知，对自然数n3，nn+1(n+1)n.6已知，求证：对于一切，是整数7设有个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲戴盆望天的球数不小于乙堆的球数，则从甲堆拿个球放堆乙堆，这样算是挪动一次证明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆8已知数列满足：，（），试证：证明：(1)当 时，结论成立； 当 时，结论成立；(2)假设时结论成立，即 则当时， 即当时，结论成立。综上所述，对于任意的，结论均成立
