多目标优化方法及实例解析PPT课件

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1、第九讲 多目标规划方法,多目标规划解的讨论非劣解 多目标规划及其求解技术简介 效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标规划模型 目标达到法 目标规划方法 目标规划模型 目标规划的图解法 求解目标规划的单纯形方法 多目标规划应用实例,多目标规划是数学规划的一个分支。 研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为 MOP(multi-objective programming)。 在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面

2、的研究。 1896年法国经济学家V.帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。,3,求解多目标规划的方法大体上有以下几种： 一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等； 另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。 对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种

3、定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。,多目标规划模型,（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。,（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：,一 多目标规划及其非劣解,式中： 为决策变量向量。,缩写形式：,有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则： Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；,（1）,（2）,对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：,式中： X 为n 维决策变量向量； C 为kn 矩阵，即目标函数系数

4、矩阵； B 为mn 矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m 维的向量，即约束向量。,多目标规划的非劣解,多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。 对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择： 每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？ 每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？,在图1中，max(f1, f2) .就方案和来说，的 f2 目标值比大，但其目标值 f1 比小，因此无法确定这两个方案的优与劣。 在各个方案之间，显然：比好，比好, 比好, 比好。,非劣解可以用图1说明。,图1 多目标规划的劣解与非劣解,9,而对

5、于方案、之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣解集。,当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。,效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标达到法 目标规划模型,二 多目标规划求解技术简介,为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。,是与各目标函数相关的效用函数的和函数。,方法一 效用最优化模型（线性加权法）,（1）,（2

6、）,思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：,在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：,式中， i 应满足：,向量形式：,方法二 罚款模型（理想点法）,思想: 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）； 通过比较实际值 fi 与期望值 fi* 之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：,或写成矩阵形式：,式中， 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 (i=1,2,k )组成的

7、mm对角矩阵。,理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。 假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：,方法三 约束模型（极大极小法）,方法四 目标达到法,首先将多目标规划模型化为如下标准形式：,在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标 fi* ( i=1,2,k ) , 每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,k ) ， 再设 为一松弛因子。 那么，多目标规划问题就转化为：,17,方法五 目标规划模型（目标规划法）,需要

8、预先确定各个目标的期望值 fi* ，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级( LK)，目标规划模型的数学形式为：,18,式中： di+ 和 di分别表示与 fi 相应的、与fi* 相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量； pl表示第l个优先级； lk+、lk-表示在同一优先级 pl 中，不同目标的正、负偏差变量的权系数。,三 目标规划方法,通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。 这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Ja

9、ashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法单纯形方法。,目标规划模型 目标规划的图解法 求解目标规划的单纯形方法,目标规划模型,给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最小。,1.基本思想 ：,2.目标规划的有关概念,例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8万元和10万元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1单位台时和2单位台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的设备总台时为10单位台时。试问：如何

10、确定其生产方案使得企业获利最大？,由于决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求x1，x2，使,将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策方案为: （万元）。,生产甲、乙两种产品，有关数据如表所示。试求获利最大的生产方案？,但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等一系列其它条件，如：,超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产 成本增加。 应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。 应尽可能达到并超过计划产值指标56万元。,这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。, 根据

11、市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因 此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。,23,假定有L个目标，K个优先级(KL)，n个变量。在同一优先级pk中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别为kl+ 、kl- ，则多目标规划问题可以表示为：,目标规划模型的一般形式,目标函数,目标约束,绝对约束,非负约束,24,在以上各式中， kl+ 、kl- 、分别为赋予pl优先因子的第 k 个目标的正、负偏差变量的权系数， gk为第 k个目标的预期值， xj为决策变量， dk+ 、dk- 、分别为第 k 个目标的正、负偏差变量，,目标函数,目标约束,绝对约束,非负约束,目标规划数学模型中的有关概念。,(1

12、) 偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量 d +、d - 。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有 d +d - =0成立。,(2) 绝对约束和目标约束 绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。,目标约束，目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看作是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差 ，可加入正负偏差变量，是软约束。 线性规划问题的目标函数

13、，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。,(3) 优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑,往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 p1 ，次位的目标赋予优先因子 p2 ，并规定 pl pl+1 (l=1,2,.) 表示 pl 比 pl+1 有更大的优先权。 即:首先保证p1 级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而p2级目标是在实现p1 级目标的基础上考虑的；依此类推。,若要区别具有相同优先因子 pl 的目标的差别，就可以分别赋予它们不同的权系数i* ( i=1,2,k )。

14、这些优先因子和权系数都由决策者按照具体情况而定。,(3)优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑,往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 p1 ，次位的目标赋予优先因子 p2 ，并规定 pl pl+1 (l=1,2,.) 表示 pl 比 pl+1 有更大的优先权。 即:首先保证p1 级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而p2级目标是在实现p1 级目标的基础上考虑的；依此类推。,(4)目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。因此，目标

15、规划的目标函数只能是：,a) 要求恰好达到目标值，就是正、负偏差变量都要尽可能小,即,b) 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能小，即,c) 要求超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，即,基本形式有三种：,29,例2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不小于56万元。并分别赋予这三个目标优先因子p1,p2,p3。试建立该问题的目标规划模型。,分析: 题目有三个目标层次，包含三个目标值。 第一目标：p1d1+ ; 即产品甲的产量不大于乙的产量。

16、第二目标： p2(d2+ + d2-);即充分利用设备的有限台时，不加班； 第三目标： p3d3- ; 即产值不小于56万元；,例2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不小于56万元。并分别赋予这三个目标优先因子p1,p2,p3。试建立该问题的目标规划模型。,解：根据题意，这一决策问题的目标规划模型是,31,例3、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。(1)试制定生产计划，使获得的利润最大？,解:设生产甲产品: x1 ，乙产品: x2 ,(1),32,若在例3中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标 50000元； 2、产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； 3、现有钢材 3600吨必须用完。 试建立目标规划模型。,分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。 第一目标：p1d1