3.4 倒易点阵与布里渊区(Reciprocal Lattice and Brillouin Zone)在晶格振动理论中原子的振动以机械波的形式在晶体中传播，在能带理论中电子的几率分布用波函数的形式描述,是在整个晶体中分布的几率波上述两种波都受制于晶格的周期性倒易空间就是定义在晶格上的波的波矢的空间.从数学上讲,倒易点阵和Bravais点阵互相是对应的傅里叶空间倒易点阵基矢(Reciprocal Basis)与晶格基矢正交归一：倒易点阵基矢：即原胞体积倒易格矢量： ，其中h, k, l为任意整数.构成倒易点阵Bravais点阵的倒易点阵也是Bravais点阵，在绝大多数情况傅里叶变换并不改变点阵的晶格结构.普遍而言倒易点阵属于点阵同一晶系.(1) 面心立方与体心立方互为正、倒易点阵例子：面心---体心互换2) 体心四方变成面心四方,也就是回到体心四方.(3) 底心正交还是变成体心正交.倒易点阵在晶体学中的应用：晶面的定量描述倒格矢垂直于晶面所以倒格矢可以代表晶面.证明：设晶面在基矢上的截距为，Miller指数被晶面截出的基矢方向的矢量差为，和以Miller指数组成倒格矢,正好与三个截距矢量差都垂直：。
所以与由，和张成的晶面垂直晶面的间距也可以计算出来：.布里渊区是晶格振动和能带理论中常用的物理概念1930年，Leon-Nicolas Brillouin提出用倒易空间矢量的中垂面来划分波矢空间的区域倒易空间中的任何一个矢量都对应于一个波矢.一般来讲一个布里渊区内的波矢可以代表所有的晶格中的波的状态第一布里渊区(The First Brillouin Zone)：倒易点阵的Wigner-Seitz原胞以简单正交晶体为例：原胞大小为()，倒易原胞的大小为()整个晶体的大小为()电子的波函数.考虑到周期边界条件，要求倒易空间中的任意矢量,即波矢满足条件所以倒易空间中的任意矢量的取值必须是分立的，最小取值单元为（）这样第一布里渊区中容纳的电子的量子态数为：(2来自于电子自旋的兼并)例子：BCC的FBZ为正十二面体，FCC的FBZ为切割八面体 实际上，完整晶体中运动的任何固体中的元激发（电子、声子、磁振子等）的能量和状态都是倒易点阵的周期函数，因此只需要用第一布里渊区中的波矢k来描述能带电子、点阵振动和自旋波等元激发的状态，并确定他们的能量-波矢关系（能量-动量关系，-k关系）布拉格面(Bragg Plane)：以一个倒易格点为原点的所有倒格矢的中垂面的集合。
第n布里渊区(The n’th Brillouin Zone)：从原点最少越过n-1个布拉格面可达到的区域第n布里渊区(n>1)不是单连通区域，但仍然是倒易空间中的一个原胞布拉格父子(William Henry Bragg and William Lawrence Bragg)生平：William Henry Bragg于1862年生于英国威格顿1881年经考试获得奖学金进入剑桥大学数学很好1885年毕业以后，去了澳大利亚1885-1908年担任澳大利亚阿德莱德大学教授，期间在1903年兼任澳大利亚科学发展委员会天文数理组主席，1907年被选为英国皇家学会会员1909-1915年担任英国利滋大学物理学教授，1915-1923年任伦敦大学教授1923-1942年任皇家研究所教授和所长William Lawrence Bragg于1890年生于澳大利亚的阿德莱德，在阿德莱德大学学习数学1909年跟随父亲转入剑桥大学改学物理，1911年毕业1912年经考试获得剑桥大学自然科学一等荣誉奖，随即在发现电子的Joseph John Thompson指导下工作1919-1937年任曼彻斯特大学物理学教授，1921年被选为英国皇家学会会员。
1938-1953年任卡文迪许实验室教授和主任1954-1966年担任皇家研究所教授和所长William Henry Bragg从1904年起开始研究放射性物质通过实验和分析，他指出不同的射性所发射的a粒子的初始速率、射程、电离能力都不同1912年秋，Max von Laue等发现了晶体对X射线的衍射作用，一举同时证实了X射线的波动性和晶体内部有周期性结构这引起了Lawrence的注意而对此进行深入研究他提出晶体中整齐排列的原子可以看成衍射光栅，劳厄等衍射照片上出现的斑点是这个光栅反射X射线的结果，并推导出著名的布拉格公式1913年Henry制造出第一台X射线摄谱仪，测定了许多元素的标识X射线的波长1913年以后，Bragg父子利用第一台X射线摄谱仪测定了金刚石、水晶等几种简单晶体的结构并研究出晶体结构分析的方法这就从理论和实验上证明了晶体结构的周期性和几何对称性，奠定了X射线谱线学和X射线结构分析的基础，从而为深入研究物质内部结构开辟了可靠的途径为此1915年布拉格父子共同获得诺贝尔物理学奖布拉格父子在学生和各国的来访学者的合作下，继续改进他们的工作他们首次推算了晶体中正负离子的半径；改进了X射线摄谱仪及其计算方法，可以测定X射线的衍射强度及多至11个参量的复杂晶体结构，包括当时所能得到的各种硅酸盐结构。
他们的研究领域从无机物扩大到有机物、金属、合金乃至生物学等等在Lawrence的指导下，A. J. Bradley and H. Lipson等人发展了粉末衍射法在金属研究中的应用，研究了许多复杂结构、合金的有序-无序现象、永磁材料、相平衡等Lawrence大力支持他的学生对血红蛋白，DNA结构，肌肉收缩的滑移机制，金属位错理论等研究工作，从而推动了X射线衍射学，晶体学乃至分子生物学的发展在他的努力下，卡文迪许实验室争取到了医学研究的资助，建立了非常先进的分子生物学实验室1957-1958年间，用置换重原子技术和测定同构衍生物结构的办法解读出了肌肉红蛋白和血红蛋白的三维结构布拉格父子特别是Lawrence在综合与组织不同学科领域的科学研究方面作出了巨大的努力他们还十分注意科学教育工作，培养以及与他们合作的各国科学家近百人英国皇家研究所从1826年的法拉第起，每年圣诞节都要举行学术报告在布拉格父子前后30年的主持下，这个学术传统从未中断，并且他们常亲自主讲William Henry Bragg在1942年3月12日逝世于伦敦（80岁），去世前两天还在工作William Lawrence Bragg在1966年退休，后来仍关心晶体学的研究和科学普及工作。
1971年7月1日在英格兰的移扑思维器逝世（81岁）5 晶格结构测定与X射线衍射X射线的基本特性与产生：1895年，Wilhelm Konrad Roentgen（伦琴）发现了特殊的射线，开始不知道是什么，所以命名为X射线X射线波长在埃的范围内，为电磁波的一种. X射线的长波端(软X)与紫外线的短波端重叠，X射线的短波端(硬X)与射线的长波端重叠X射线是由真空管阴极发射的电子加速后打在阳极的金属靶 上而产生的真空管发出的辐射是有限宽的连续谱叠加一些分立谱线连续谱是由入射电子被核电荷所偏转而发射的（这个过程叫轫致辐射: Bremsstrahlung）连续谱有一最短波长，相当于入射电子的最大能量：分立谱是靶中原子的核外电子被入射电子激发后发射的，随靶元素改变分立谱的波长不同，叫标识X射线波长1埃的X射线对应的光子能量是适合用来研究晶格结构. X射线进入固体后易被吸收：，为吸收系数;所以X射线的衍射谱通常是用反射的办法来得到的布拉格定律(Bragg’s law or Bragg’s equation)：1912年，William Lawrence Bragg单色X射线射到晶体表面时会被反射布拉格定律给出反射出现相长衍射的条件：，其中d为晶面间距，为波长。
布拉格衍射要求波长必须小于两倍的晶面间距. 为产生出具有足够短波长的X射线, 真空管阴极发射的电子能量必须足够大布拉格开始的设想是十分简单的晶体是由分立原子构成，用一组连续反射镜来代表原子平面是不太合适的，晶体更严格地应被看成三维衍射光栅但是后面严格的证明仍然得出布拉格定律是正确的多原子散射的物理数学描述：X射线与原子中的电子相互作用并散射到所有方向： 入射波(Incoming wave)波矢记为：， 出射波(Outgoing wave)波矢记为： 假设光子与电子作弹性散射：一般地，定义，所以，为与的夹角单电子的散射 (Single Electron Scattering)首先，在单电子的散射的过程中，入射波为平面波，而出射波为球面波 入射波波函数：,等相位面,所以是平面. 出射波波函数：，为电子散射长度，D为半径. 等相位面,所以是球面 双电子的散射 (Dielectron Scattering) 双电子的散射的过程可以看成两个单电子散射的迭加 双电子散射波函数： 双电子散射相位差(定义)： 平等处理的双电子散射波函数： 多电子的散射 (Multi-electron Scattering):可以得到衍射强度与角度的关系.多电子的散射可以看成上述双电子散射的一个推广。
多电子散射波函数： 全系统散射长度：，这样波函数 散射束强度： (假设谱线在一个球面上测量)(1)非相干散射：当各原子不相干振动时，(2)相干衍射:晶体的散射分解为单胞的散射之和;单胞的散射再分解为单胞内原子的散射之和,原子的散射最后分解为核外电子的散射之和.Crystal Scattering Factor. 晶体散射因子：全晶体系统散射长度.，其中求和遍及晶体中的每一原子.衍射花样由散射强度决定.Atomic Scattering Factor. 是单个原子的散射长度对简单晶格： 当时，, 因而,其中Z为原子序数. Lattice Structure Factor. 晶格结构因子：只考虑单胞之间的相位差.，求和遍及晶体中的每一单胞S仅与晶系有关.Geometrical Scattering Factor. 几何散射因子：考虑单胞内原子之间的相位差. ，求和遍及单胞中的每一原子F与单胞内的细节有关.三维晶体的晶格结构因子(Lattice structure factor)的计算：晶格求和特性(Sum Rule)： ，其中为倒易空间中的任意矢量 点阵格矢量 倒易点阵格矢量证明:一维情况(等比级数求和)—三维拆成三个一维标量求和式之积.所以，晶格结构因子 衍射峰的基本位置：（由的条件得到）（单胞），，=n,(只是注意在这个证明中,d’为单胞的晶面间距)因此，回到了布拉格定律:！！！劳厄(Laue)方程：， 为单胞基矢。
衍射光斑的消失：晶格衍射因子或当时，衍射光斑的强度为：每个衍射斑与一组晶面对应，除非几何结构因子而消失几何结构因子的计算： （单胞）根据倒格矢的性质：，衍射斑消失的规律给出单胞具体构造的直接信息例子：元素体心立方：，n(h+k+l)为奇数或偶数当n=1时，对应于(h+k+l)为奇数的光斑会消失不见，如光斑；只有光斑出现（110，110，101，101）当n=2时，所有光斑都会出现X射线衍射的碰撞理解：，出、入射光子经碰撞而发生的动量改变为，反冲能量极小，因为M为晶体总质量由此可见弹性碰撞假设即是合理的电子衍射与X射线衍射的比较：1927年，微观粒子的波粒二象性(wave-particle duality)是由Clinton Joseph Davisson和Lester Helbert Germer做的镍表面的100eV电子衍射图样实。