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1、* 8.4 三元一次方程组的解法 1理解三元一次方程 ( 组) 的概念; 2能解简单的三元一次方程组 一、情境导入 九章算术分为9 章,并因此而得名其中第8 章为“方程” , 里面有这样一道题目 ( 用现代汉语表述 ):3 束上等的稻, 2 束中等的 稻,1 束下等的稻,共出谷39 斗;2 束上等的稻, 3 束中等的稻, 1 束下等的稻,共出谷34 斗;1 束上等的稻, 2 束中等的稻, 3 束下等 的稻,共出谷 26 斗 问:上、中、下三种稻,每束的出谷量各是多少斗? 二、合作探究 探究点一:三元一次方程组的概念 下列方程组中,是三元一次方程组的是( ) A. x 2 y1, yz0, xz
2、2 B. 1 x11, 1 y z2, 1 z x6 C. abcd1, ac2, bd3 D. mn18, nt12, tm0 解析:A选项中,方程x 2y1 与 xz2 中含未知数的项的次数 为 2,不符合三元一次方程组的定义,故A选项不是; B选项中 1 x, 1 y, 1 z不是整式,故 B 选项不是; C 选项中方程组含有四个未知数,故C 选项不是; D选项符合三元一次方程组的定义故答案为D. 方法总结:满足三元一次方程组的条件:(1) 方程组中一共含有 三个未知数; (2) 每个方程中含未知数的次数都是1;(3) 方程组中共 有三个整式方程 变式训练:见学练优本课时练习“课堂达标训
3、练”第1 题 探究点二:三元一次方程组的解法 解下列三元一次方程组: (1) zyx, 2x3y2z5, x2yz13; (2) 2x3yz11, xyz0, 3xyz2. 解析: (1) 观察各个方程的特点,可以考虑用代入法求解,将 分别代入和中,消去z可得到关于x、y的二元一次方程组; (2) 观察各个方程的特点, 可以考虑用加减法求解, 用减去可消去z, 用加上也可消去z,进而得到关于x、y的二元一次方程组 解:(1) 将代入、,消去z,得 4xy5, 2x3y13. 解得 x2, y3. 把 x2,y3 代入,得z5. 所以原方程组的解为 x2, y3, z5; (2) ,得x2y11
4、. ,得 5x2y9. 与组成方程组 x2y11, 5x2y9. 解得 x 1 2, y 23 4 . 把x 1 2,y 23 4 代入,得z 21 4 . 所以原方程组的解是 x 1 2, y 23 4 , z 21 4 . 方法总结:解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系 数特点选择较简便的方法 (1) 一般地,若某一方程的系数比较简单, 可选用代入法; (2) 若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值 相等或成倍数时, 可选用加减消元法, 但要注意必须消去同一个未知 数,否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数,但由它们组成的方 程组仍含三个未知数,并未达到消元的目的 变式训练:
5、见学练优本课时练习“课堂达标训练”第4 题 探究点三:三元一次方程组的应用 【类型一】三元一次方程组在非负数中的应用 若|ab1| (b2ac) 2|2 cb| 0,求a,b,c的值 解析:本题考查非负数性质的综合应用,要使等式成立必须使每 个非负数都为 0. 解:因为三个非负数的和等于0,所以每个非负数都为0. 可得方程组 ab10, b2ac0, 2cb0. 解得 a3, b4, c2. 方法总结:非负数之和为0,隐含着每个非负数都为0,从而可 列方程组求解 变式训练:见学练优本课时练习“课后巩固提升”第2 题 【类型二】利用三元一次方程组求数字问题 一个三位数,十位上的数字是个位上的数字
6、的 3 4,百位上的 数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1. 将百位与个位上的数 字对调后得到的新三位数比原三位数大495,求原三位数 解析:设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x,y,z, 则原三位数可表示为100 x10yz. 解:设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z. 由 题意,得 y 3 4z, xyz1, 100z10yx100 x10yz495, 解得 x3, y6, z8. 答:原三位数是368. 方法总结: 解数字问题的关键是正确地用代数式表示数如果一 个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,那么这个两位数 可表示为 10ab.如果一个三位数的百位上
7、的数字为a,十位上的数 字为b,个位上的数字为c,那么这个三位数可表示为100a10bc, 依此类推 变式训练:见学练优本课时练习“课堂达标训练”第5 题 【类型三】列三元一次方程组解决实际问题 某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶,因途中有一坡 度均匀的小山该汽车从甲地到乙地需要2.5h,而从乙地到甲地需 要 2.3h. 假设汽车在平路、 上坡路、下坡路的时速分别是30km 、20km 、 40km ,则从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度各是 多少? 解析:题中有三个等量关系: 上坡路长度平路长度下坡路 长度 70km ;从甲地到乙地的过程中, 上坡时间平路时间下坡 时间
8、2.5h;从乙地到甲地的过程中, 上坡时间平路时间下坡 时间 2.3h. 解:设从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度分 别是xkm ,ykm和zkm. 由题意,得 xyz70, x 20 y 30 z 402.5 , z 20 y 30 x 402.3. 解得 x12, y54, z4. 答:从甲地到乙地的过程中,上坡路是12km ,平路是 54km ,下 坡路是 4km. 方法总结: 解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中,如果 从甲地到乙地是上坡路段,那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段 变式训练:见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8 题 三、板书设计 三元一次方程组 三元一次方程组的概念 三元一次方程组的解法 三元一次方程组的应用 通过对二元一次方程组的类比学习,让学生感受把新知转化为已 知,把不会的问题转化为学过的问题,把难度大的问题转化为难度较 小的问题这一化归思想 感受数学知识之间的密切联系,增强学生的 数学应用意识, 初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯