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1、* 8.4 三元一次方程组的解法 1理解三元一次方程 ( 组) 的概念； 2能解简单的三元一次方程组 一、情境导入 九章算术分为9 章，并因此而得名其中第8 章为“方程” ， 里面有这样一道题目 ( 用现代汉语表述 )：3 束上等的稻， 2 束中等的 稻，1 束下等的稻，共出谷39 斗；2 束上等的稻， 3 束中等的稻， 1 束下等的稻，共出谷34 斗；1 束上等的稻， 2 束中等的稻， 3 束下等 的稻，共出谷 26 斗 问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？ 二、合作探究 探究点一：三元一次方程组的概念 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) A. x 2 y1， yz0， xz
2、2 B. 1 x11， 1 y z2， 1 z x6 C. abcd1， ac2， bd3 D. mn18， nt12， tm0 解析：A选项中，方程x 2y1 与 xz2 中含未知数的项的次数 为 2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是； B选项中 1 x， 1 y， 1 z不是整式，故 B 选项不是； C 选项中方程组含有四个未知数，故C 选项不是； D选项符合三元一次方程组的定义故答案为D. 方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1) 方程组中一共含有 三个未知数； (2) 每个方程中含未知数的次数都是1；(3) 方程组中共 有三个整式方程 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训
3、练”第1 题 探究点二：三元一次方程组的解法 解下列三元一次方程组： (1) zyx， 2x3y2z5， x2yz13； (2) 2x3yz11， xyz0， 3xyz2. 解析： (1) 观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将 分别代入和中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组； (2) 观察各个方程的特点， 可以考虑用加减法求解， 用减去可消去z， 用加上也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组 解：(1) 将代入、，消去z，得 4xy5， 2x3y13. 解得 x2， y3. 把 x2，y3 代入，得z5. 所以原方程组的解为 x2， y3， z5； (2) ，得x2y11
4、. ，得 5x2y9. 与组成方程组 x2y11， 5x2y9. 解得 x 1 2， y 23 4 . 把x 1 2，y 23 4 代入，得z 21 4 . 所以原方程组的解是 x 1 2， y 23 4 ， z 21 4 . 方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系 数特点选择较简便的方法 (1) 一般地，若某一方程的系数比较简单， 可选用代入法； (2) 若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值 相等或成倍数时， 可选用加减消元法， 但要注意必须消去同一个未知 数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方 程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的 变式训练：
5、见学练优本课时练习“课堂达标训练”第4 题 探究点三：三元一次方程组的应用 【类型一】三元一次方程组在非负数中的应用 若|ab1| (b2ac) 2|2 cb| 0，求a，b，c的值 解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每 个非负数都为 0. 解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0. 可得方程组 ab10， b2ac0， 2cb0. 解得 a3， b4， c2. 方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可 列方程组求解 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第2 题 【类型二】利用三元一次方程组求数字问题 一个三位数，十位上的数字是个位上的数字
6、的 3 4，百位上的 数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1. 将百位与个位上的数 字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数 解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z， 则原三位数可表示为100 x10yz. 解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z. 由 题意，得 y 3 4z， xyz1， 100z10yx100 x10yz495， 解得 x3， y6， z8. 答：原三位数是368. 方法总结： 解数字问题的关键是正确地用代数式表示数如果一 个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数 可表示为 10ab.如果一个三位数的百位上
7、的数字为a，十位上的数 字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a10bc， 依此类推 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第5 题 【类型三】列三元一次方程组解决实际问题 某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡 度均匀的小山该汽车从甲地到乙地需要2.5h，而从乙地到甲地需 要 2.3h. 假设汽车在平路、 上坡路、下坡路的时速分别是30km 、20km 、 40km ，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是 多少？ 解析：题中有三个等量关系： 上坡路长度平路长度下坡路 长度 70km ；从甲地到乙地的过程中， 上坡时间平路时间下坡 时间
8、2.5h；从乙地到甲地的过程中， 上坡时间平路时间下坡 时间 2.3h. 解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分 别是xkm ，ykm和zkm. 由题意，得 xyz70， x 20 y 30 z 402.5 ， z 20 y 30 x 402.3. 解得 x12， y54， z4. 答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km ，平路是 54km ，下 坡路是 4km. 方法总结： 解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果 从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8 题 三、板书设计 三元一次方程组 三元一次方程组的概念 三元一次方程组的解法 三元一次方程组的应用 通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已 知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较 小的问题这一化归思想 感受数学知识之间的密切联系，增强学生的 数学应用意识， 初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯
