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1、【全程复习方略】2020版高考数学 8.7双曲线课时提升作业 理 北师大版一、选择题1.(2020南昌模拟)已知双曲线mx2-ny2=1(m0,n0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为()(A)13(B)63(C)33(D)2332.双曲线x2n-y2=1(n1)的左、右两个焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则PF1F2的面积为()(A)12(B)1(C)2(D)43.(2020汉中模拟)设双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为()(A)4(B)3(C)2(D)14.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b
2、0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()(A)x236-y2108=1(B)x29-y227=1(C)x2108-y236=1(D)x227-y29=15.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()(A)2(B)3(C)3+12(D)5+126.(2020新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=43,则C的实轴长为()(A)2(B)22(C)4(D)87.(2020抚州模拟)设F1,F2分别为双曲线x2a2
3、-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()(A)3x4y=0(B)3x5y=0(C)4x3y=0(D)5x4y=08.(能力挑战题)设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且PF1PF2=0,则|PF1+PF2|=()(A)10(B)210(C)5(D)25二、填空题9.(2020西安模拟)若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,则双曲线y2a2-x2b2=1的离心率为.10.(2020天津高考)已知双曲线C1:x2a2-
4、y2b2=1(a0,b0)与双曲线C2:x24-y216=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(5,0),则a=,b=.11.(能力挑战题)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为.三、解答题12.(2020井冈山模拟)已知A,B,P是双曲线x2a2-y2b2=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPAkPB=23,求双曲线的离心率.13.(2020马鞍山模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点P(4,-10).(1)求双
5、曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1MF2=0.(3)求F1MF2的面积.14.P(x0,y0)(x0a)是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足OC=OA+OB,求的值.答案解析1.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:1m+1n1m=2,解得:m=3n,又m0,n0,mn,即1n1m,故由椭圆mx2+ny2=1得y21n+x21m=1.所求椭圆的离心率为:e=1
6、n-1m1n=1n-13n1n=63.【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本原因是由于将椭圆mx2+ny2=1焦点所在位置弄错,从而把a求错造成.2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2n,又|PF1|+|PF2|=2n+2,|PF1|=n+2+n,|PF2|=n+2-n,又c=n+1,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,F1PF2=90,SPF1F2=12|PF1|PF2|=1.3.【解析】选C.双曲线x2a2-y29=1的渐近线方程为3xay=0与已知方程比较系数得a=2.4.【解析】选B.由题意可知c=6,a2+b2=c2,ba=3,解得a2=
7、9,b2=27,所以双曲线的方程为x29-y227=1.5.【解析】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则双曲线的渐近线的斜率k=ba,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以kFB=-bc,又因为直线FB与双曲线的一条渐近线垂直,所以kkFB=ba(-bc)=-1(k=-ba显然不符合),即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,即e2-e-1=0,解得e=1+52(负值舍去).【变式备选】双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则b2+13a的最小值为()(A)
8、233(B)33(C)2(D)1【解析】选A.因为双曲线的离心率为2,所以ca=2,即c=2a,c2=4a2;又因为c2=a2+b2,所以a2+b2=4a2,即b=3a,因此b2+13a=3a2+13a=a+13a213=233,当且仅当a=13a,即a=33时等号成立.故b2+13a的最小值为233.6.【解析】选C.不妨设点A的纵坐标大于零.设C:x2a2-y2a2=1(a0),抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立得方程组x2a2-y2a2=1,x=-4,解得:A(-4,16-a2),B(-4,-16-a2),|AB|=216-a2=43,解得a=2,2a=4.C的实轴长为4.7.【解
9、析】选C.设PF1的中点为M,因为|PF2|=|F1F2|,所以F2MPF1,因为|F2M|=2a,在直角三角形F1F2M中,|F1M|=(2c)2-(2a)2=2b,故|PF1|=4b,根据双曲线的定义得4b-2c=2a,即2b-c=a,因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,即3b2-4ab=0,即3b=4a,故双曲线的渐近线方程是y=43x,即4x3y=0.8. 【解析】选B.如图,由PF1PF2=0可得PF1PF2,又由向量加法的平行四边形法则可知PF1QF2为矩形,因为矩形的对角线相等,故有|PF1+PF2|=|PQ|=2c=210.9.【解析】由已知椭圆离心率为32,
10、所以有a2-b2a=1-(ba)2=32,得(ba)2=14,而双曲线的离心率为a2+b2a=1+(ba)2=1+14=52.答案:5210.【解析】由题意可得ba=42,a2+b2=5,解得:a=1,b=2.答案:1211.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.【解析】设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),右焦点F坐标为F(c,0),令A(c,b2a),B(c,-b2a),所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=b4a2.又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0b4a2,即a+cb2aa2+ac0(e=ca),
11、解得:e2或e1,e2.答案:(2,+)12.【解析】设A(m,n),P(x0,y0),则B(-m,-n),A,B,P在双曲线上,m2a2-n2b2=1,(1)x02a2-y02b2=1,(2)(2)-(1)得:x02-m2a2=y02-n2b2y02-n2x02-m2=b2a2,kPAkPB=y0-nx0-my0+nx0+m=y02-n2x02-m2=b2a2=23e=ca=1+b2a2=1+23=153.13.【解析】(1)e=2,可设双曲线方程为x2-y2=(0).过点P(4,-10),16-10=,即=6.双曲线方程为x2-y2=6.(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=6,c=
12、23,F1(-23,0),F2(23,0).kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,kMF1kMF2=m29-12=-m23.点M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3.故kMF1kMF2=-1,MF1MF2.MF1MF2=0.方法二:MF1=(-3-23,-m),MF2=(23-3,-m),MF1MF2=(3+23)(3-23)+m2=-3+m2.M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,即m2-3=0.MF1MF2=0.(3)F1MF2的底|F1F2|=43,F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=3,SF1MF2=6.14.【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为15列方程求
13、解.(2)联立方程,设出A,B,OC的坐标,代入OC=OA+OB求解.【解析】(1)由点P(x0,y0)(x0a)在双曲线x2a2-y2b2=1上,有x02a2-y02b2=1.由题意又有y0x0-ay0x0+a=15,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e=ca=305.(2)联立方程得x2-5y2=5b2,y=x-c,得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5c2,x1x2=35b24.设OC=(x3,y3),OC=OA+OB,即x3=x1+x2,y3=y1+y2.又C为双曲线E上一点,即x32-5y32=5b2,有(x1+x2)2-5(y1+y2)2=5b2,化简得:2(x12-5y12)+(x22-5y22)+2(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以x12-5y12=5b2,x22-5y22=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:2+4=0,解出=0或=-4.
