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1、3.4 函数的极值与最值本节利用导数讨论函数的极值与最值的问题，具体来说，讨论函数在局部与全局的最大值、最小值（简称最值）问题，它在实际应用中有着重要的意义。一、函数的极值1. 极值的定义观察图3.11，可以发现，函数在点的值比其邻近点的值都大，曲线在该点处达到“峰顶”；在点的值比其邻近点的值都小，曲线在该点处达到“谷底”。对于具有这种性质的点，我们引入函数的极值的概念.图3.11定义3.3 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点（），恒有（或），则称是函数的极大值（或极小值），称是函数的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.注：（1
2、）函数的极值是一个局部性的概念，如果是函数的极大值（或极小值），只是就邻近的一个局部范围内，是最大的（或最小的），而对于函数的整个定义域来说就不一定是最大的（或最小的）了。（2）函数的极值只能在定义域内部取得。2. 极值的判别法继续观察图3.4可以发现，在函数取得极值处，若曲线的切线存在（即函数的导数存在），则切线一定是水平的，即函数在极值点处的导数等于零。由此，有下面的定理.定理3.4 (极值存在的必要条件) 如果函数在点可导，且在处取得极值，则=0. 证明从略。定义3.4 使的点,称为函数的驻点.根据定理3.4，可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。例如，函数在点处
3、的导数等于零，但如图1.3所示，不是的极值点。此外，函数在它导数不存在的点处也可能取得极值。例如，函数在点处不可导（参见2.1例11），但如图1.4所示，在点取得极小值。归纳起来，一方面，函数可能取得极值的点是驻点和不可导点；另一方面，驻点和不可导点却又不一定是极值点。因此，若要求函数的极值，首先要找出函数的驻点和不可导点，然后判定函数在这些点是否取得极值，以及是极大值还是极小值。对此，参考图3.12和图3.13，可得下面的定理。图3.13图3.12定理3.5 (判别极值的第一充分条件) 设函数在点的某邻域内连续且可导(在处可以不可导)，则(1) 如果在点的左邻域内，；在点的右邻域内，则函数在
4、取得极大值；(2) 如果在点的左邻域内，；在点的右邻域内，则函数在取得极小值。证明从略。注：如果在点的两侧，保持同号，则函数在点没有极值。根据上述讨论，利用定理3.5求函数的极值点和极值的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求，求出的驻点及不可导点；（3）用步骤（2）中求出的点将函数的定义区间划分为若干个子区间，确定在各个子区间的符号，确定极值点和极值。例1 求函数的极值。解 （1）函数的定义域为；（2），令，得驻点：，； （3）用和将定义域划分为三个区间：、，列表确定的符号，函数的极值点和极值：表3.5-极大值极小值所以，函数的极大值为，极小值为。当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，
5、也可以利用下述定理来判定在驻点处是取得极大值还是极小值。定理3.6 (判别极值的第二充分条件) 设函数在点具有二阶导数，且，则（1）当时，函数在点取得极小值；（2）当时，函数在点取得极大值。证明从略。注：定理3.5和定理3.6虽然都是判定极值点的充分条件，但在应用时又有区别.定理3.5对驻点和导数不存在的点均适用，定理3.6只对二阶导数存在且不为零的驻点适用，下列两种情形，定理3.6不适用：(1) 不存在的点；(2) , 的点.这时，可能是极值点，也可能不是极值点.例2 求函数的极值。解 （1）的定义域为；（2） ，；令, 求得驻点，没有不可导点； （3）因为, 所以在处取得极小值, 极小值为
6、;因为, 用定理3.6无法判定，改用定理3.5判定。因为在的左右邻域内, 所以在处没有极值；同理，在处也没有极值。综上所述，函数只有极小值.二、函数的最值函数的极值是函数在局部范围内的最大值或最小值，本节讨论函数在其定义域或指定范围上的最大值或最小值。1闭区间上连续函数的最值由定理1.5知道，若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值与最小值。参照图3.11可知，函数的最值只能在驻点、不可导点、端点取得。因此，求闭区间上连续函数的最大值与最小值的方法如下：（1）求函数的定义域；（2）求，求出函数的驻点以及不可导点；（3）计算在驻点、不可导点、端点的函数值，比较大小，即可得函数的最大值与最小值。例3
7、 求函数在上的最大值和最小值。解 （1）指定的区间为； （2）令，得内的驻点为； （3），比较可得，函数的最大值为，最小值为。如图3.14、图3.15所示，如果函数在某个连续区间内只有唯一的极值点，可以断定，当是的极大(小)点时， 就是函数在该区间上的最大(小)值,这是实际应用中经常遇到的情况.图3.15图3.142 实际问题的最值在实际应用中，常常会遇到求最大值或最小值的问题（称为最优化问题），比如，制作一个容积一定的容器，要求用料最少；生产中投入同样多的人力、物力、财力，要求产出最大、利润最大，等等。这类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题。应用极值和
8、最值理论解决最优化问题时，首先要弄清要求最大值或最小值的量，该量与问题中其它量的关系怎样，以要最优化的量为目标，建立目标函数，并确定函数的定义域；其次，应用极值和最值理论求目标函数的最大值或最小值；最后应按问题的要求给出结论。图3.16例4 如图3.16所示，设工厂到铁路的垂直距离为20km，垂足为，铁路线上距点100km处有一原料供应站，现在要在线上选定一点修建一个原料中转车站，再由车站向工厂修筑一条公路。已知每吨公里铁路的运费与公路的运费之比为3:5，为了使原料从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？解 首先，建立目标函数。设(km)，则，；又设公路运费为5(是正数)，铁路运费为3，从
9、点到点需要的总运费为（元），则目标函数为 ，即 （）。其次，将实际问题的最值转化为函数的最值。问题转化为：求函数在上的最小值。求导数，得，令, 得驻点（舍去）。因为运费问题中必有最小值，现在又只有一个驻点，由此知为函数的最小值点。因此，当车站建于、之间与相距15km处时，运费最省。注：在实际问题中，如果函数在某区间内有唯一的驻点，而且从实际问题本身又可知道在该区间内必定有最大值或最小值， 则就是的最大值点或最小值点。例5 如图3.17所示，把一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁，问矩形截面的高和宽应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?d hb图3.17解 首先，建立目标函数。依题意，目标函数为因为，所以 。其次，将实际问题的最值转化为函数的最值。问题转化为：求函数在内的最大值。求导数,得.令，得驻点。 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在, 而且在内部取得，现在，函数在内只有一个驻点, 所以当时，的值最大，这时，即，。所以，矩形截面的高和宽之为时，梁的抗弯截面模量最大。
