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1、向 量1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；坐标表示法 aj（，）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作a.(4)特殊的向量：零向量aOaO.单位向量aO为单位向量aO1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(1，1)（2，2）(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作ab.平行向量也称为共线向量.2.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则向量的减法三角形法则,数乘向量1.是一个向量,满足:2.0时, 同向;0时, 异向;=
2、0时, .向量的数量积是一个数1.时，.2. 3.向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式： 运算性质：交换律：；结合律：；坐标运算：设，则4.向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则5.向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则6.向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，其中，则当且仅当时，向量、共线7.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
3、一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）8.分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当时，点的坐标是（当9.平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或 设，则设、都是非零向量，是与的夹角，则线段的定比分点公式：（和）设 =（或=），且的坐标分别是，则推广1：当时，得线段的中点公式：推广2：则（对应终点向量）三角形重心坐标公式：ABC的顶点，重心坐标：注意：在ABC中，若0为重心，则，这是充要条件平移公式：若点P按向量=平移到P，
4、则4（1）正弦定理：设ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则 （2）余弦定理： （3）正切定理： （4）三角形面积计算公式： 设ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，rS=1/2aha=1/2bhb=1/2chc S=PrS=abc/4RS=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinAS= 海伦公式S=1/2（b+c-a）ra如下图=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb注：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心如图：图1中的I为SABC的内心， S=Pr，图2中的I为SABC的一
5、个旁心，S=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点（5）已知O是ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c 注：s为ABC的半周长,即，则：AE=1/2（b+c-a）BN=1/2（a+c-b）FC=1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）特例：已知在RtABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3） （6）在ABC中，有下列等式成立证明：因为所以，
6、所以，结论！（7）在ABC中，D是BC上任意一点，则证明：在ABCD中，由余弦定理，有在ABC中，由余弦定理有，代入，化简可得，（斯德瓦定理）若AD是BC上的中线，；若AD是A的平分线，其中为半周长；若AD是BC上的高，其中为半周长（8）ABC的判定：ABC为直角A + B =ABC为钝角A + BABC为锐角A + B附：证明：，得在钝角ABC中，（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和09-13高考真题09.7. 函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于A. B. C. D.【答案】D09.1. 若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b【答案】B10.8. 已知和点M满足.若存在实使得成立，则=BA.2B.3C.4D.511.2 若向量，则与的夹角等于A B C D 【详细解析】 分别求出与的坐标，再求出，带入公式求夹角。【考点定位】 考查向量的夹角公式cos=,属于简单题.12.13 .已知向量,则(1)与同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量与向量夹角的余弦值为_
