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1、 高考数学考点归纳之 圆的方程一、基础知识1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0) 圆心：(a，b)，半径： r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心：，半径：标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为r.(1)当D2E24F0时，方程表示一个点；(2)当D2E24F0时，方程不表示任何图形2点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆
2、内，则(x0a)2(y0b)2r2.二、常用结论 (1)二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0. 典例(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)24(2)圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_解析(1)根据题意可设圆的方程为x2(yb)21，因为圆过点A(1,2)，所以12(2b)21，解得b2，所以所求圆的方程为x2(y2)21.(2)法
3、一：几何法设点C为圆心，因为点C在直线x2y30上，所以可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得解得a1，b2，r210，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法三：待定系数法设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为，由题意得解得D2，E4，F5.故所求圆的方程为x2y22x4y50.答案(1)A(2)x2y22x4y50题组训练1已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，1)
4、，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.2y2B.2y2C.2y2 D.2y2解析：选C法一：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a0)，半径为r，则圆E的标准方程为(xa)2y2r2(a0)由题意得解得所以圆E的标准方程为2y2.法二：设圆E的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2y2x10，即2y2.法三：因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y2(x1)上又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB| ，所以圆E的标准方程为2y2.2已知圆心在直线y4x上
5、，且圆与直线l：xy10相切于点P(3，2)，则该圆的方程是_解析：过切点且与xy10垂直的直线方程为xy50，与y4x联立可求得圆心为(1，4)所以半径r2，故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.答案：(x1)2(y4)283已知圆C经过P(2,4)，Q(3，1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为_解析：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，得D24F36，联立，解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.答案
6、：x2y22x4y80或x2y26x8y0典例(1)点P(4，2)与圆x2y24上任意一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21(2)已知圆C：(x1)2(y1)29，过点A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为_解析(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.(2)设P(x，y)，圆心C(1,1)因为P点是过点A的弦的中点，所以. 又因为(2x,3y)，(1x,1y)所以(2x)(1x)(3y)(1y)
7、0.所以点P的轨迹方程为2(y2)2.答案(1)A(2)2(y2)2变透练清1.若将本例(2)中点A(2,3)换成圆上的点B(1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P的轨迹方程为_解析：设P(x，y)，圆心C(1,1)当点P与点B不重合时，因为P点是过点B的弦的中点，所以.又因为(1x,4y)，(1x,1y)所以(1x)(1x)(4y)(1y)0.所以点P的轨迹方程为(x1)22；当点P与点B重合时，点P满足上述方程综上所述，点P的轨迹方程为(x1)22.答案：(x1)222已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若
8、PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.A级1以线段AB：xy20(0x2)为直径的圆的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)28 D(x1
9、)2(y1)28解析：选B直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(x1)2(y1)22.2若圆x2y22axb20的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为()A1 B2C. D4解析：选B由半径r2，得2.点(a，b)到原点的距离d2，故选B.3以(a,1)为圆心，且与两条直线2xy40与2xy60同时相切的圆的标准方程为()A(x1)2(y1)25B(x1)2(y1)25C(x1)2y25Dx2(y1)25解析：选A由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2xy40的距离d，解得a1，d，直线与圆相切，rd， 圆的标准方程为(x1)2(
10、y1)25.4(2019银川模拟)方程|y|1表示的曲线是()A一个椭圆 B一个圆C两个圆 D两个半圆解析：选D由题意知|y|10，则y1或y1，当y1时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y1上方的半圆；当y1时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y1下方的半圆所以方程|y|1表示的曲线是两个半圆，选D.5已知aR，若方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则此圆的圆心坐标为()A(2，4) B.C(2，4)或 D不确定解析：选A方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，a2a20，
11、解得a1或a2.当a1时，方程化为x2y24x8y50.配方，得(x2)2(y4)225，所得圆的圆心坐标为(2，4)，半径为5.当a2时，方程化为x2y2x2y0，此时方程不表示圆故选A.6已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为()A(x1)2y22 B(x1)2y28C(x1)2y22 D(x1)2y28解析：选A直线xy10与x轴的交点(1,0)根据题意，圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆与直线xy30相切，所以半径为圆心到切线的距离，即rd，则圆的方程为(x1)2y22.7圆C的直径的两个端点分别是A(1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为
12、_解析：设圆心C的坐标为(a，b)，则a0，b3，故圆心C(0,3)半径r|AB|.圆C的标准方程为x2(y3)22.答案：x2(y3)228已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为_解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|CB|，得(a1)212(a1)232，解得a2.半径r|CA|.故圆C的方程为(x2)2y210.由题意知(m2)2()210，解得0m4.答案：(0,4)9若一个圆的圆心是抛物线x24y的焦点，且该圆与直线yx3相切，则该圆的标准方程是_解析：抛物线x24y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2(y1)2r2(r0)，因为该圆与直线yx3相切，所以rd，故该圆的标准方程是x2(y1)22.答案：x2(y1)2210(2019德州模拟)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的标准方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以
