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1、模块一：解三角形复习2.1.1 正弦定理教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ 引入课题：正弦定理二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA= sinB= sinC=1 即c=. 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，
2、有,则. 同理，（思考如何作高？），从而.*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜ABC当中SABC=. 两边同除以即得：=.证明二：（外接圆法）如图所示，AD，同理 =2R，2R.证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于，由+=边同乘以单位向量 得. 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2. 教学例题： 出示例1：在中，已知，cm，解三角形. 分析已知条件 讨论如何利用边角关系 示范格式 小结：已知两角一边 出示例2：. 分析已知条件 讨论如何利用边角关系 示范格式 小结：已知两边及一边对角
3、 练习：.在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm） 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？ 3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：1.已知ABC中，A=60，求.2.1.2 余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点：向量方法证明余弦定理.教学过程：一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. ：在ABC中，已知，A=45，C=30，解此
4、三角形. 变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导： 如图在中，、的长分别为、. ，.即， 试证：，. 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 用符号语言表示，等； 基本应用：已知两边及夹角 讨论：已知三边，如何求三角？ 余弦定理的推论：，等. 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？2. 教学例题： 出示例1：在ABC中，已知，求b及A. 分析已知条件 讨论如何利用边角关系 示范求b 讨论：如何求A？（两种方法） （答案：，） 小结：已知两边及夹角在ABC中，已知，解三角形. 分析已知条
5、件 讨论如何利用边角关系 分三组练习 小结：已知两角一边3. 练习： 在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C. 在ABC中，已知a2，b3，C82，解这个三角形.4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边.三、巩固练习：1. 在ABC中，若，求角A. （答案：A=120）2. 三角形ABC中，A120，b3，c5，解三角形. 变式：求sinBsinC；sinBsinC.3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.2.1 .3 正弦定理和余弦定理（练习）一、复习准备：1. 写出正弦定
6、理、余弦定理及推论等公式. 2. 讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论： 出示例1：在ABC中，已知下列条件，解三角形. (i) A，a25，b50； (ii) A，a25，b50； (iii) A，a，b50； (iiii) A，a50，b50. 分两组练习 讨论：解的个数情况为何会发生变化？ 用如下图示分析解的情况. （A为锐角时） ：在ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. (i) A，a25，b50； (ii) A，a25，b10例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1) a20，b28，A120.无解(2)a28，b20，A45；一解(3)
7、c54，b39，C115；一解(4) b11，a20，B30；两解2. 教学正弦定理与余弦定理的活用： 出示例2：在ABC中，已知sinAsinBsinC=654，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角. 出示例3：在ABC中，已知a7，b10，c6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？ 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到： 出示例4：已知ABC中，试判断ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？ 再思考：又如何将角化为边？3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：1.
8、 已知a、b为ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值2. 在ABC中，sinA:sinB:sinC4:5:6，则cosA:cosB:cosC .3. 作业：2.2三角形中的几何计算一、 设疑自探正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用。对于本节课你想了解哪些内容？（1）怎样运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题？（2）处理三角形中的计算问题应该注意哪些问题？二、解疑合探 A D B C D C A B 四、运用拓展3 解三角形的实际应用举例教学过程一、复习引入 1、正弦定理： 2、余弦定理： ，二、例题讲解引例：我军有A、B两个小岛相
9、距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。解： 由正弦定理知海里例1如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）已知车厢的最大仰角为60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字） 解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到
10、一个三角形中解决。练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）解：由正弦定理知海里答：灯塔S和B处的距离约为海里例2.测量高度问题如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是和, 、间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m.求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？分析：因为，又 所以只要求出即可：在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，求山高。解：在ABC
11、中，ABC=30，ACB =135，CAB =180(ACB+ABC)=180(135+30)=15又BC=32, 由正弦定理得：课堂小结1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为：画图形数学模型实际问题解三角形检验（答）正弦定理余弦定理综合应用一、知识梳理1内角和定理：在中，；面积公式: 在三角形中大边对大角，反之亦然.2正弦定理：在一个三角形中,各边和
12、它的所对角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： (边角转化的重要工具)形式三： 形式四：3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： 二、方法归纳 (1)已知两角A、B与一边,由A+B+C=及，可求出角C，再求、. (2)已知两边、与其夹角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三边、，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边、及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边的对角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通过求B时，可能出一解，两解或无解的情况=sinA有一解 sinA有两解 有一解 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形【例1】在中，若，,，则 .【例2】在ABC中，已知=,=,B=45,求A、C和.【适时导练】1.（1）ABC中，=8,B=60,C=75,求; （2）ABC中，B=30, =4,c=8,求C、A、a.问题二：利用余弦定理解三角形【例3】设的内角所对的边分别为.已知，.（）求的周长；（）求的值.【例4】（2010重庆文数） 设的内
