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1、第7章 二阶电路教学目的：通过本章的学习，使学生掌握经典法求解二阶电路的过程，二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应。要求：1.熟练掌握经典法求解二阶电路的过程，二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应，2了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。重点：1. 二阶电路的经典分析法2二阶电路的响应特点难点： 二阶电路的响应特点内容：1.二阶电路的零输入响应2.二阶电路的阶跃响应和冲激响应 3.一般二阶电路本次课主要介绍二阶电路的零输入响应课题：7-1 二阶电路的零输入响应目的要求：熟练掌握二阶电路的零输入响应分析法原理及步骤。复习旧课：一阶电路的响应讲授新课：7-1 二阶电路的零输入响应零输入响应是由
2、储能元件的原始储能引起的响应。首先研究最简单的二阶电路，即RLC串联电路的零输入响应。如图7-1（a）所示电路已达稳态，开关S在时打开，时的电路如图7-1（b）所示，该电路为RLC串联的零输入电路。由图（a）可以求出电路的初始条件，即， 因此，图（b）电路中的储能元件C和L上都有原始储能。当时，电路在原始储能的作用下产生响应，下面求图（b）电路的零输入响应。(a) (b)图7-1 RLC串联电路的零输入响应首先列出图7-1（b）电路的方程，根据KVL，有设状态变量为方程变量，根据，和，代入方程整理得， (7-1)该式是一个线性常系数二阶齐次微分方程。可见，含有两个动态元件的电路是由二阶微分方程
3、描述的，所以称为二阶电路。 根据数学知识，设（7-1）式的解为，代入即得特征方程为解出特征根为 (7-2a) (7-2b)可见，特征根和电路参数有关，参数不同其特征根的形式也不同，根据（7-2）式可以得出（1）当时，特征根为两个不相等的负实根，称为过阻尼情况；（2）当时，为两个相等的负实根，称为临界阻尼情况；（3）当时，为两个共轭复根，称为欠阻尼情况。 下面按特征根的三种情况分别进行讨论。一、过阻尼响应在过阻尼情况下，因为，所以为两个不相等的负实根，因此（7-1）式的解由两个指数项构成，即 (7-3)根据初始条件和，得解该式可以求出常数和，即 (7-4)代入（7-3）式即可以得出响应。由于由两
4、个指数衰减项组成，随着时间的推移它们均衰减为零，最后电路中的原始储能全部由电阻消耗了。由于响应是非振荡衰减过程，所以称为过阻尼响应。利用和可以求出电路电流和电感电压。和i的响应曲线如图7-2所示。图7-2 过阻尼响应曲线二、临界阻尼响应在临界阻尼情况下，因为，特征方程的根为重根，即根据数学知识知，方程（7-1）的解为 (7-5)由初始条件和，得 (7-6)代入（7-5）式即可以得出响应。再利用和可以求出电路电流和电感电压。和i响应曲线和过阻尼情况类似。三、欠阻尼响应当时，特征根为共轭复根，令，代入（7-2）式，则共轭复根可表述为，其中为虚数符号。由于，将、代入（7-3）式，即利用尤拉公式和，得
5、 用、分别替换式中的和，则 (7-7)由初始条件和可以求出和，即 (7-8)根据三角函数关系，式（7-7）可以进一步写为 (7-9)式中，。利用和可以求出电流和电感电压。的响应曲线如图7-3所示。图7-3 欠阻尼响应曲线由图7-3可以看出，处于振荡衰减的过程中，同样i和也是振荡衰减的。衰减规律取决于，称为衰减因子，越大衰减越快；振荡频率为，越大，振荡周期越小，振荡越快。振荡和衰减的过程是由电路参数决定的。在该过程中，电容和电感在交替释放和吸收能量，而电阻始终在消耗电能直到电路中的储能为零。由以上分析知道，无论是过阻尼、欠阻尼还是临界阻尼响应过程，电路中的原始储能是逐渐衰减并最后到零。换句话说，
6、电路中的储能均由电阻消耗了，因此，电阻的大小决定着暂态过程的长短。对于欠阻尼过程来说，如果令，则，于是（7-9）式变为可见，图7-1（b）所示电路将进入永无休止的振荡过程，因为电阻为零，所以该情况称为无阻尼情况；当时，由于电阻比较小，电路进入振荡响应过程，称为欠阻尼情况；当时，电路不再振荡，因为电阻增大了所以称为过阻尼情况；由于是决定响应振荡与否的界限，所以称为临界阻尼情况。因此，它们对应的电路分别称为无阻尼电路、欠阻尼电路、过阻尼电路和临界阻尼电路等。例7-1 图7-4（a）所示电路已达稳态，在时打开开关S，试求时的电压和电流i。解 因为图（a）电路处于稳态，所以，当时电路如图7-4（b）所
7、示，该电路是零输入二阶电路，由换路定则，得，因为，所以满足，为欠阻尼情况，则， 将以上参数和初始条件代入（7-8）式，得，进而可以得出和，再将和A代入（7-9），得由求出电流，则(a) (b)图7-4 例7-1图本次课主要介绍二阶电路的阶跃响应和冲激响应课题：7-2 二阶电路的阶跃响应和冲激响应目的要求：掌握二阶电路的阶跃响应和冲激响应的特点。复习旧课：二阶电路的零输入响应讲授新课：7-2 二阶电路的阶跃响应和冲激响应对于二阶电路来说，当激励为阶跃函数时，所产生的响应为阶跃响应；若激励为冲激函数，则响应为冲激响应。下面就讨论这两种响应。一、二阶电路的阶跃响应图7-5为阶跃电流源激励下的GLC并
8、联电路。由阶跃函数的定义知，当时电路中无储能，即电容和电感均处于零状态，所以有和。当时，根据KCL，有设状态变量为所求变量，根据，和，代入上式得， (7-10)该式是二阶线性常系数非齐次微分方程，其解由两部分构成，即 (7-11)其中是方程的特解也称为稳态响应或强制响应，是对应齐次方程的通解也称为暂态响应或自由响应。稳态响应或强制响应是当时的响应，因为激励是阶跃函数，所以 (7-12)图7-5 二阶电路的阶跃响应暂态响应或自由响应可以利用上一节的方法求出。在（7-10）式中，令，则对应的特征方程为特征根为 (7-13)可见，特征根仍然有三种不同的情况，即两个不相等的负实根、两个相等的负实根和共
9、轭复根；同样对应三种不同的情况，即过阻尼、临界阻尼以及欠阻尼情况。于是暂态响应可能的形式有 过阻尼响应 (7-14a) 临界阻尼响应 (7-14b) 欠阻尼响应 (7-14c)式中，。将（7-12）和（7-14）式代入（7-11）式，得图7-5电路的阶跃响应分别为 过阻尼响应 (7-15a) 临界阻尼响应 (7-15b) 欠阻尼响应 (7-15c)式中和的值可以根据初始条件，求出。利用可以求出电容和电感电压，再利用和求出电容和电导电流。如果图7-5的电路是非零状态，即和不等于零，则同样根据（7-15）式可以求出电路的响应，此时，响应是全响应。和一阶电路相同，全响应等于稳态响应和暂态响应之和，或
10、者全响应等于强制响应和自由响应之和，于是全响应可以写为 (7-16)二、二阶电路的冲激响应和一阶电路相同，如果二阶电路的激励为冲激，当冲激过后，冲激源所携带的能量就储存在储能元件上，电路的响应就是由该能量引起的响应。冲激过后，电路中的外加激励为零，此时的响应就是零输入响应，即冲激响应。所以求冲激响应的首要任务是求冲激源能量的转移，即求电路的初始储能或初始状态，其次是求电路的零输入响应。图7-6（a）所示为冲激电压源激励的RLC串联电路。由于是冲激激励，所以，。根据6-6节的结论，电感对冲激相当于开路，电容对冲激相当于短路，则冲激作用时刻的等效电路如图7-6（b）所示，所以有，。再根据电感元件的
11、VCR，有可见，冲激所携带的能量转移到电感元件上，冲激使电感电流发生了跃变。由于时流过电容的电流为零，所以电容电压不可能跃变，则时的电路如图7-6（c）所示，该电路为RLC串联的零输入电路。若以为变量，则该电路的响应就是7-1节所求的零输入响应，即根据特征根的不同冲激响应有三种不同的结果。此时的初始条件为 ，将它们代入（7-4）式，得代入（7-3）式，则过阻尼响应为将初始条件代入（7-6）式，得，代入（7-5）式，则临界阻尼响应为将初始条件代入（7-8）式，得，代入（7-9）式，则欠阻尼响应为(a) (b) (c)图7-6 二阶电路的冲激响应另外，电路的冲激响应同样可以先求出阶跃响应，然后通过
12、求导得到冲激响应。例7-2 试求图7-7（a）所示电路的冲激响应，设电路为欠阻尼情况。(a) (b) (c)图7-7 例7-2图解 因为是冲激激励，所以，。先求冲激作用后的初始状态，时的等效电路如图7-7（b）所示，由图知，可以求出时的电路如图7-7（c）所示，该电路为RLC并联的零输入电路。设以为变量，电路的方程为根据（7-14c）式和初始条件，求出，则本次课主要介绍一般二阶电路的响应课题：7-3 一般二阶电路目的要求：了解一般二阶电路的响应复习旧课：二阶电路的零输入响应讲授新课：7-3 一般二阶电路前两节研究的二阶电路仅仅是RLC的串联或并联电路，它们是最简单也是最常用的二阶电路。但是，在
13、实际中常常会遇到含有两个储能元件的任意二阶电路，将前面讨论的方法用于这样的电路，其分析的步骤与方法如下：1设方程变量，列出电路方程。对于动态电路来说方程变量必须是状态变量或，并用函数统一表示它们，然后根据KVL、KCL（或第3章的方法）以及支路上的VCR列出电路方程。零输入电路的方程为二阶齐次常微方程，而非零输入是非齐次二阶方程。2确定初始条件和。如果电路只有阶跃激励，则初始状态为零；如果电路只有冲激激励，则通过求冲激源能量的转移结果得到初始状态。3求微分方程对应特征方程的特征根，确定电路自然（暂态）响应的形式，即过阻尼响应、临界阻尼响应或者欠阻尼响应。若电路是零输入或冲激激励，则利用初始条件求出响应中的两个未知常数便可以得出电路响应。4求出强制（稳态）响应。如果激励
