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1、.高等数学 B（二）模拟试卷（ 12）一、计算下列各题（本大题共2 小题，每小题 8 分，共 16 分）1. 已知三角形的三个顶点分别为A(1, 1,0), B( 2,0,1), C( 1,3,0), 求该三角形的面积。2.求直线 x 5y 11z 9与球面 ( x2)2( y 1)2( z 5) 249的交点。354二、计算下列各题（本大题共2 小题，每小题 8 分，共 16 分）1. 设 zu 2 ln v ，uxy, vxy，求z , z .xy2. 设 uex y sin x ，求2u2u .x2,x y三、计算下列各题（本大题共2 小题，每小题 8 分，共 16 分）1. 计算2y，
2、其中 D 是矩形区域x 1 , y 1.xedD2. 计算二重积分xdxdy，其中区域 D 是由 x 2y24 ，x0， y0所确定的平面D1 / 7.区域 .四、计算下列各题（本大题共2 小题，每小题 8 分，共 16 分）1. 解微分方程 dye2( x y ) .dx2. 求差分方程 yx 25 yx 16 yx0的通解 .五、 (9分 ) 设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、 B 的数量x , y 间有关系式p( x, y)0.005x 2 y ，欲用 300 元购料，已知 A、B 原料的单价分别为1 元、 2 元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？六、 (9 分) 证明级数
3、1收敛 .sin1)n 1n( n七、 (9 分)求微分方程 yy5x 2 的通解 .2 / 7.八、 (9 分) 把函数 f ( x)xe x 2 展开成 x 的 数 .高等数学 B（二）模 卷（ 12）解答一、 算下列各 （本大 共2 小 ，每小 8 分，共 16 分）1. 已知三角形的三个 点分 A(1, 1,0), B (2,0,1), C ( 1,3,0) .求 三角形的面 .解 AB1,1,1 , AC 2,4,0，因此 .2ijk15614 . . .2+2+2S ABC1111AB AC12224022. 求直 x 5y 11z 9与球面 ( x2)2( y 1) 2( z 5
4、) 249的交点 .354x3t5解 把直 的参数方程y5t11 3z4t9代入球面方程得t 12， t 23.故得交点 M 1 (1,1, 1) ， M 2 (4, 4,3) . . 5二、 算下列各 （本大 共2 小 ，每小 8 分，共 16 分）1. 设 zu2 ln v， u xy, vxy，求 z ,z .xy解zzuzvu2y( x y) 2xuxvx2u ln v2( x y) ln xyvx3 / 7. .4zzuz vu2( x y)2yuy2u ln vx 2( xy) ln xyv yvy. 42. 设uex y sin x ，求2 u,2 u ；x 2x y解uex y
5、sin xex ycosx ，2 u2ex ycos x .2+3xx22u ex y sin x ex y cos x .3x y三、 算下列各 （本大 共2 小 ，每小 8 分，共 16 分）1. 算x 2ey d ，其中 D 是矩形区域 x 1 , y 1.D11e 1 ) 113( 1) 3 21解原式e y dy x 2dx (e1(e1133)e. 4+2+22. 算二重 分xdxdy ，其中区域 D 是由 x 2 y2 4， x 0， y 0所确定的平D面区域 .4 / 7.2228 . 4+2+2解4 xx 4 x 2dxxdxdydx xdy0003D四、 算下列各 （本大
6、共2 小 ，每小 8 分，共 16 分）1. 解微分方程 dy e2( x y ) .dx解原方程可化 e 2 ydye2x dx 3两 分得e 2 y dye2 x dx 2解得e 2 ye2xC(C 任意常数 ). .32.求差分方程 yx 25 yx 16 yx0的通解 .解特征方程 2560解得12 , 2 3 .2+3所以 方程的通解 yC1 2xC 2 3x(C1 ,C2 任意常数 ). . 3五、 (9 分 ) 生 某种 品的数量与所用两种原料A、 B 的数量 x, y 有关系式p( x, y) 0.005x2 y，欲用 300 元 料，已知 A、B 原料的 价分 1 元、 2
7、元， 两种原料各多少，可使生 数量最多？解依 意得x2 y300 .1 拉格朗日函数 F ( x, y)0.005x2 y( x2 y300) .3 3解得x200 , y50.答： 两种原料 x200 , y50，可使生 数量最多 . 25 / 7.1F x0.01xy0六、 (9 分) 明 数F y0.005 x20收 .sin1)2n 1n(nFx 2 y3000 明因 11sinn(n 1)n( n 1)， . .4又1收 ，所以由比 法可知 数收 . 证毕 .3+2n 1 n(n1)七、 (9 分) 求微分方程 yy5x2 的通解 .解 的 次方程的通解 Y C e xC ex. .312 原方程的一个特解 yax 2bxc，代入得 2a (ax 2bxc)5x2，解得a5， b0， c10，所以原方程的一个特解 y5x 210. . .3故所 方程的通解 yYyC1e xC2ex5 x 210( C1 ， C2 任意常数 ). 3八、 (9分)把函数 f ( x)xex 2展开成 x 的 数 .解ex1xx2xn， x(,) 32!n!ex 21x 2x 4x 2 n， x(,) 32!n!6 / 7.因此 f ( x)xe x 2xx 3 x 5x 2n 1， x ( ,) . 32!n!7 / 7
