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1、一、非参数经验贝叶斯估计,二、参数经验贝叶斯估计,第3.4节经验贝叶斯估计,0、背景与意义,贝叶斯估计存在的问题：先验分布的确定,如何客观地确定先验分布？,根据历史资料数据（即经验）确定该问题的先验分布，其对应的贝叶斯估计称为经验贝叶斯估计.该方法是由Robbins在1955年提出的.,经验贝叶斯估计分类（共两类）,非参数经验贝叶斯估计 参数经验贝叶斯估计,一、非参数经验贝叶斯估计,例1（p109例3.20),1、问题引入,如果先验分布G(x)未知，该如何计算？,2、经验贝叶斯决策函数,当先验分布未知时，如何利用历史资料（经验资,料）,定义3.11,的信息得到最优贝叶斯估计？,使得上式达到最小
2、的决策函数为经验贝叶斯决策函数,定义,渐近最优贝叶斯决策函数,例2(续例p109例3.20),例3(p110例3.21),由这两个例子可以看到，经验贝叶斯估计一方面依赖,贝叶斯估计理论，同时也依赖于非参数估计方法。,定理4.1,则,是共轭先验分布族，其中,二、参数经验贝叶斯估计,例4(p126例4.10),解,其似然函数为,显然此共轭分布族为分布的子族，因而，两点分布的共轭先验分布族为分布.,常见共轭先验分布,二、参数经验贝叶斯估计,由第一小节内容可知，给定损失函数以后，风险函数定义为,此积分仍为的函数，在给定的先验分布()时，定义,为决策函数d在给定先验分布()下的贝叶斯风险，简 称为d的贝
3、叶斯风险.,1、贝叶斯风险的定义,2、贝叶斯风险的计算,当X与都是连续性随机变量时，贝叶斯风险为,当X与都是离散型随机变量时，贝叶斯风险为,注,由上述计算可以看出，贝叶斯风险为计算两次 期望值得到,即,此风险大小只与决策函数d有关，而不再依赖 参数. 因此以此来衡量决策函数优良性更合理,1、贝叶斯点估计,定义4.6,若总体X的分布函数F(x,)中参数为随机,变量，()为的先验分布，若决策函数类D中存在,一个决策函数使得对决策函数类中的任一决策函数,均有,注,1、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策 函数.,2、不同的先验分布，对应不同的贝叶斯估计,2、贝叶斯点估计的计算,平方损失下的贝叶斯估
4、计,定理4.2,设的先验分布为()和损失函数为,则的贝叶斯估计为,证,首先对贝叶斯风险做变换,又因为,又因为,则,因而,定理4.3,设的先验分布为()和损失函数为加权平方损失,则的贝叶斯估计为,证明略，此证明定理4.2的证明类似.,定理4.4,设参数为随机向量，先验分布为() 和损失函数为二次损失函数,注,其中Q为正定矩阵，则的贝叶斯估计为后验分布h(|x)的均值向量，即,定理表明，正定二次损失下，的贝叶斯估计不受正定矩阵Q的选取干扰，表现出其稳健性.,证,在二次损失下，任一个决策函数向量d(x)=,其中第二项为常数，而第一项非负，因而只需当,定义4.7,设d=d(x)为决策函数类D中任一决策
5、函数，,损失函数为L(,d(x),则L(,d(x),对后验分布h(|x)的,数学期望称为后验风险，记为,注,如果存在一个决策函数，使得,则称此决策为后验风险准则下的最优决策函数，或称 为贝叶斯（后验型）决策函数。,定理4.5,对给定的统计决策问题(包含先验分布给,定的情形）和决策函数类D,当贝叶斯风险满足如下条,件：,定理表明：如果决策函数使得贝叶斯风险最小，此决策函数也使得后验风险最小，反之，也成立.,证明从略,定理4.6,设的先验分布为()和损失函数为,证,则的贝叶斯估计为,设m为h(|x)的中位数，又设d=d(x)为的另一,估计，为确定期间，先设dm,由绝对损失函数的定义可得,又由于,则
6、,由于m是中位数，因而,则有,于是，当dm时,同理可证，当dm时,因而,定理4.7,设的先验分布为()和损失函数为,则的贝叶斯估计为,证,首先计算任一决策函数d(x)的后验风险,为了得到R(d|x)的极小值，关于等式两边求导：,即,则,例5(p131 例4.11),设总体X服从两点分布B(1,p),其中参数p未知，而p在0,1上服从均匀分布，样本,试求参数p的贝叶斯估计与贝叶斯风险?,解,平方损失下的贝叶斯估计为：,而,其贝叶斯风险为,又因为,则,所以,例6(p133 例4.12),设总体X服从正态分布N(,1),其中参数未知，而服从标准正态布在N(0,1)，样本,试求参数的贝叶斯估计?,解,
7、平方损失下的贝叶斯估计为：,而,化简得,例7(p134 例4.13),设总体X服从均匀分布U(0,),其中参数未知，而服从pareto分布，其分布函数与 密度函数分别为,试求参数的贝叶斯估计?,解,根据定理4.6可知，绝对值损失对应的贝叶斯估计为 后验分布的中位数,即,则,根据定理4.4可知，平方损失对应的贝叶斯估计为 后验分布的均值,即,例8(p135 例4.14),设总体X服从伽玛分布(r,),试求参数的贝叶斯估计?,解,3、贝叶斯估计的误差,在计算的估计时，用到了的后验分布，因此考 察估计值与真实值之间的误差时，也应考虑的后验分布，误差定义如下：,定义4.8,参数的后验分布为h(|x),
8、其贝叶斯估计,后验均方差与后验方差的关系,后验均方差与后验方差的优点,1、二者只依赖与样本，不依赖参数.,2、二者的计算不依赖与统计量的分布，即抽样分布,3、贝叶斯估计不考虑无偏性，因为贝叶斯估计只考虑出现的样本，不考虑没出现的样本.,4、贝叶斯区间估计,定义,定义,定义4.9,设参数的后验分布为h(|x)，对给定的,注,贝叶斯置信区间依赖于先验分布，不需要抽样 分布，计算相对简单.,正态分布均值的贝叶斯置信区间,例9(p137例4.15),解,首先计算参数的后验分布,由此可见,于是可得,置信区间为,例10(p138例4.16),对某儿童进行智力测验，设测验,结果服从N(,100),其中为心理学中儿童的智商， 的,先验分布为N(100,225),试求的置信为0.95的贝叶斯,置信区间.,解,将相关数据代入上述置信区间公式可得： 的,置信度为0.95的置信区间为,94.07, 126.69,而用表3.2（不用先验分布）可得的置信度为0.95的,置信区间为,95.4, 134.6,作 业,习题四 p146 5，6，7，8，9，10 11,
