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1、11.就对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷一文的讨论陈奎孚(中国农业大学理学院74#，北京100083)摘要 师教民等作者对2009年一道中学生物理竞赛试题的参考答案进行了商榷，并对朱如曾再商榷文章进行了答复.笔者就师教民等作者的文章中有关问题进行了讨论，指出在动参考系下，弹簧的势能是弹簧两端位移的二元函数，其全微分应包括全部端点的贡献，而师教民等人的失误是未考虑远离小球一端位移的贡献.此外，相关文章对“力的传递”、“功”，“变形体”、“弹性势能”等基本力学概念的理解也有不妥之处，本文也将略加评述.关键词 物理竞赛;动参考系;惯性系;势能;全微分;机械能;机械能守恒Remarks on Dis
2、cussion on the answer of a middle school students contest question”Chen Kui Fu(College of Science #74， China Agricultural University， Beijing 100083)Abstract Shi Jiao-ming et al. published a paper discussing the solution to a problem from the 2009 middle school students physics competition of China.
3、 Zhu Ru-zeng disagreed with SHI Jiao-mings opinion and presented a commentary paper. Shi Jiao-ming already presented a reply rebutting against Zhu Ru-zengs comments. In this paper， I will remark on the Shi Jiao-mings initial and rebuttal papers. It will be pointed out that the elastic potential of a
4、 spring observed from a moving frame is a bi-variate function with respect to both displacements of two spring ends. The exact differential should cover contributions from both ends， and the mistake made by SHI Jiao-ming et al. is losing the contribution from the end distal to the oscillating partic
5、le. Besides， some fundamental mechanics concepts， for example， force transmissibility， work， transformable body， elastic potential， were misunderstood by some authors， and will be remarked concisely.Keyword: physics competition; moving reference system; inertial frame; potential energy; exact differ
6、ential; mechanical energy; conservation of mechanical energy0.话题李学生和师教民近期发表了一篇针对2009年第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷第三题第小题的标准答案的商榷文章1，引起的反响很大，如东北师范大学物理学院教授孟昭辉对文1的错误进行了剖析2，曾任力学进展常务副主编的朱如曾先生再商榷了文1 3，随后原文作者之一师教民对文3进行了反驳4.郑金用特殊情形否定了文1的观点5.因文1所讨论的话题曾经争议了五十多年6,7，所以它发表后立即受到了正面引用8.笔者与文2和文3的看法一致，即文1的观点是不妥的.本来文2和3的讨论已经很到位了
7、，然而笔者还是想就自己的认识对文1和文4中的相关说辞进行一番讨论，这有如下原因.首先，机械能守恒是物理和力学中很基本问题，影响面太广(如文8对文1的迅速的正面引用) ，容不得错误和模糊; 其次，有文4的“言之凿凿”的反驳需要辨析；第三，笔者不想让学生、学者和教师等感兴趣者浪费有限的时间和精力.原竞赛题为：一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动.试问：在一沿此弹簧长度方向以速度u做匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由.参考答案为：否.原因是墙壁对于该体系而言是外界，墙壁对弹簧有作用力，在运动参
8、考系里此力的作用点有位移，所以对体系做功，从而改变这一体系的机械能.试题除了“以速度u做匀速运动的参考系”这个表述外都很清楚.如果能表述说“相对地面以速度u做匀速运动的参考系”，则会更明确.不过，争议双方都已经默认了“相对地面”，并无分歧.参考答案是正确无误的.1.全微分不全图1文1认为参考答案是错误的，论证的手段是数学演绎，然而该演绎有一个关键失误，即文1式(4)下方的(本段随后叙述根据文1) (1)式中：，分别是匀速运动参考系中观察到弹簧势能，小球位移和位移的微分；为弹性势能的微元；为小球所受到的力.图2如果动参考系的速度u=0，那么就回到了(见图1)，式(1)无疑是正确的，但是如果的坐标
9、原点也在运动，那么再使用式(1)就不合适了.比如图2的两个自由度系统，第二个弹簧的势能按照式(1)的逻辑究竟应该为 还是 呢？显然二者都不对.应该和的二元函数(其实势能应该写成，并进一步可以表示成单变量函数的形式，但是为了与文1的符号一致，还是用了)，它的全微分应该为图3 (2)回到图1的模型，在动参考系里观察，弹簧的左端不再保持不动，如图3所示模型.在图3中，弹簧左右两个端点各有一个参考原点，这两个原点随动参考系一起匀速运动.左右两个端点相对动参考系的位移分别为和.如同图2，在动参考系中观察到的弹簧势能是和的函数，即，所以 (3)其中的.式(1)失误在于把式(3)右边的第二项丢掉了，它正是墙
10、壁作用力对系统所做的元功.第二项的存在，是动参考系中机械能不守恒的数学表现.高炳坤先生早就论述过这个问题了9.若在图1的静参考系中观察，弹簧势能确实是的单变量函数， 是势能的全微分.但是在动参考系中，如果把式(3)的第二项丢掉，就不再是的全微分，其积分后所得的表达式也失去了作为势能的资格.2. 有关说辞的辨析本节主要对文1，4中与力学相关的说辞进行辨析.文1在解题前有“本题是质点力学问题，根据牛顿第二定律，由于力只能作用在有质量的物体上，轻质弹簧抽去其质量属性后，只是作为传递力的工具（这是理想化的模型），地面参考系和小球通过弹簧的弹力相互作用.小球与弹簧可伸缩的部分组成弹簧振子体系，所以小球的
11、机械能就是弹簧振子体系的机械能.”.这段说辞中有如下几个问题.(1) “力只能作用在有质量的物体上”无法从牛顿第二定律得出来.对质点中的是合外力.如果不是质点，质量只意味着所有外力的矢量和为零，即当弹簧质量忽略后，墙壁对弹簧的作用力矢量与小球对弹簧的作用力矢量合起来等于零(注意是矢量和为零，不是合力为零，见下面的(4).另外文4也坚持：“力不能对没有质量的物体做功” ；“朱文就不能计算两个外力 对弹簧所做的总功（若硬要计算则应把弹簧视为质点，但是，因此产生的把弹簧视为质点与忽略弹簧质量的矛盾应由朱文负责）、而只能计算小球或振子这个质点的总功了”等说辞当然也不恰当.力是否只能对有质量的物体做功能
12、？答案是否.因为力矢量元功为，其中是受力物体上与力作用点相重合那点位移的微元. 与受力物体是否有质量无关.至于“被作用对象的质量为0时，加速度可能会无穷大”的担心根本没必要，因为被作用对象上还可能有其他力的作用.再者，被作用对象也可把力的功转换成其他形式的能量，比如弹簧把能功储藏为弹性势能.图4注意：把弹簧拆掉(这里用点线表示)，就把弹簧对墙壁的作用力和对小球的作用力暴露出来了，各自的反作用力和本不应该在受力图中画出来，但这里想用同一幅图表示它们的对应关系，所以就画上了，但刻意用了虚箭头表示。(2) “轻质弹簧抽去其质量属性后，只是作为传递力的工具”的“传递力的工具”很不恰当.当弹簧质量不计时
13、，墙壁对弹簧的作用力与弹簧对小球的作用力的大小确实相等，方向也确实相同(见图4)，但是二者的作用点不同(施力物体和受力物体也当然不同).在本题中，二者的作用点位移更不同(振子的振动必然导致这个不同)，所以它们无法等效，因而不能把墙壁作用在弹簧上的力直接作用到小球上.力有可传性，但这种“传”只能在同一刚体内部传递，然而这里弹簧是变形体(也正是利用了弹簧的变形性质，才发生了振动现象)，所以不能简单地把力传过弹簧.当然，若小球处于平衡状态，那么根据刚化原理可把弹簧当成刚体模型处理，小球的平衡状态不变.此时，操作上可把墙壁对弹簧的力传递到小球(这个“传递”与弹簧是否有质量也无关)，但刚化原理的前提是小
14、球要处于平衡状态，然而本题的小球在振动.综上，文1的最后一段“由于在这个问题中弹簧仅仅是传递弹力，约束力与保守力是同一个力”必然是不正确的.(3)“小球的机械能就是弹簧振子体系的机械能”也不恰当.小球只有动能，振子的势能储存在弹簧中.在重力场中，“小球的势能”指的是小球的重力势能，即小球在地球重力场中的势能.在不引起误解的语境下，我们使用 “小球的势能”但这绝不是说小球自己就有势能.故而文4中“因此，研究弹簧振子系统的机械能只能研究质点小球或振子的动能和势能而不能再研究弹簧的势能了.事实上，弹簧振子系统的弹性势能也就是质点小球或振子的势能”表述不恰当.文4所引用的文10陈述“质点在弹力作用下相
15、对于平衡位置的弹性势能”中的“在弹力作用下相对于平衡位置的”的修饰语是很准确的，丢了这个修饰语就不合适了.除此之外，文4还有很多不恰当的地方，明显之处评述如下.(4) 文4中“这两个外力的合力为零，即所以这两个外力在弹簧运动过程中对弹簧在位移所做的总功为零”说法是不恰当的.这是因为两个外力能不能“合”是有条件的，即合前和合后的力学效果要相同，而不能说数值相反，它们的合力就为零.对于刚体，两个力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，可以合成为一个零力系，而本题弹簧为变形体，作用在两端的力是不能合的，它会把弹簧拉长或压短，而零力系没这个效果就如同两个同学分油条：在油条两端用相等的力和不用力拉的力学效果是不同的.(5) 文4中“弹性势能的变化也仅仅与弹簧的伸缩量或振子的位移有关”有错误.弹簧的伸缩量是弹簧两端的位移差，而不能“或”成振子的位移，即表述中的应该是.正是这个错误，在数学演绎上导致了文1错误的结果.(6) 文4中“弹簧（应为质点）做的是匀速运动，所以弹簧（应为质点）在运动方向上受到的合外力为零”的说法是错误的.“合外力为零”的错误前面已经论述过.对弹簧振子，弹簧所起的作用不是质点，而是变形体.变形体各处的位移和速度都不相同，当然不能说弹簧做匀速运动.
