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1、2019年高中数学平面向量公式一，基本概念1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为或者。3，向量的大小：即是向量的长度（或称模），记作或者。4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为，零向量方向是任意的。5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用、来表示。，6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若平行于，则表示为。7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。若与相等，记为=8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若与是相反向量，则表示为=；向量二，几何运算
2、1，向量加法：（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示， （3）两个向量和仍是一个向量；（4）向量加法满足交换律、结合律：，（5）加法几种情况（加法不等式）： 2，减法：（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图 （2）两向量差依旧是一个向量；（3）减法本质是加法的逆运算：3，加法、减法联系：（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，（2）若有，则四边形为矩形4，实数与向量的积：（1）实数与向量的积依然是个向量，记作，它的长度与方向判断如下：当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，；当时，；（2）实数
3、与向量相乘满足： 5，向量共线：（1）向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数，使得（2）如图，平面内三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数，使得，且，反之也成立。（3），则（证明略）6，向量的数量积（1）数量积公式：（2）向量夹角：同起点两向量所夹的角，范围是（3）零向量与任一向量的数量积为0，即（4）数量积与夹角关系： （5）投影：称为在的方向上的投影；成为在的方向上的投影（6）重要结论：直角三角形中，（7）向量数量积的运算律： （向量为与方向相同的单位向量） 三，坐标运算1，平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使得
4、，我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（证明略）2，坐标定义：如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量,作为基底。任作一个向量，由向量的基本定理可知，有且只有一对实数，使得：，我们把叫做向量的（直角）坐标，记作，其中、分别为向量的横纵坐标。这个式子叫做向量的坐标表示。3，如图，已知点，由向量的坐标定义可知，由此可知，一个向量的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标，即，4，向量的加减乘坐标运算：已知，（1）加、减、乘： （2）实数与向量乘积的坐标运算：（3）向量模（大小）的坐标形式：（4）夹角余弦值5，向量间关系的坐标形式，已知，（1）的充要条件是，（2）若则有，即6，柯西不等式的向量形式设向量，则有， ，因为，所以有柯西不等式的向量形式：，化简得：
