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1、运 筹 学( Operations Research ),文理学院 姜华 2015-3,办公室：1C213 手机：15801977593 邮箱：,绪 论,（1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书,本章主要内容：,运筹学简述,运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。,运筹学简述,运筹学的历史,“运作研究(Operational Resea
2、rch)小组”:解决复杂的战略和战术问题。例如： 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜艇攻击时损失最少； 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。,运筹学的主要内容,数学规划（线性规划、目标规划、整数规划、动态规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析,本课程的教材及参考书,选用教材 运筹学(本科版) 清华大学出版社 参考教材 运筹学教程胡运权主编 （第2版）清华出版社 管理运筹学韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 运筹学基础及应用胡运权主编 哈工大出版,先修课：高等数学，线性代数，基础概率,C
3、hapter1 线性规划 (Linear Programming),LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用,本章主要内容：,线性规划问题的数学模型,1. 规划问题,生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。,线性规划通常解决下列两类问题：,（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标,（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）,线性规划问题的数学模型,例1.
4、1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？,线性规划问题的数学模型,例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？,线性规划问题的数学模型,解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：,线性规划问题的数学模型,2. 线性规划的数学模型由三个要素构成,决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints,其特征是： （1）问题的目标函数是多个
5、决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,线性规划问题的数学模型,目标函数：,约束条件：,3. 线性规划数学模型的一般形式,简写为：,线性规划问题的数学模型,矩阵形式：,其中：,线性规划问题的数学模型,4. 线性规划问题的标准形式,特点： (1) 目标函数求最大值 (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。,线性规划问题的数学模型,（2）如何化标准形式,目标函数的转换,如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。,也就是：令
6、，可得到上式。,即,1）若存在取值无约束的变量 ，可令 其中：,变量的变换,线性规划问题的数学模型,约束方程的转换：由不等式转换为等式。,称为松弛变量,称为剩余变量,2） 变量 的变换,可令 ，显然,线性规划问题的数学模型,例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式,用 替换 ，且,解:（）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以,线性规划问题的数学模型,(2) 第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式； (3) 第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50； (4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1)
7、,将右端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;,线性规划问题的数学模型,标准形式如下：,线性规划问题的数学模型,5. 线性规划问题的解,LP问题,求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。,线性规划问题的数学模型,可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。,图解法,线性规划问题的求解方法,一 般 有 两种方法,图 解 法 单纯形法,两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标,适用于任
8、意变量、但必需将 一般形式变成标准形式,下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。,图解法,max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 3.8 X1 - 1.9X2 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 10.2 X1 - 1.9X2 -3.8 X1 ，X2 0,例1.5 用图解法求解线性规划问题,图解法,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8 (),X1 + 1.9X2 =
9、10.2(),4 = 2X1 + X2,20 = 2X1 + X2,17.2 = 2X1 + X2,11 = 2X1 + X2,Lo： 0 = 2X1 + X2,（7.6，2）,D,max Z,min Z,此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2,可行域,max Z = 2X1 + X2,X1 + 1.9X2 3.8 X1 - 1.9X2 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 10.2 X1 - 1.9X2 -3.8 X1 ，X2 0,图解法,max Z=3X1+5.7X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1
10、- 1.9X2 = -3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),（7.6，2）,D,L0： 0=3X1+5.7X2,max Z,（3.8，4）,34.2 = 3X1+5.7X2,蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。,可行域,图解法,2,4,6,x1,x2,2,4,6,无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,例1.6,x1+x2=4(),x1+3x2=6(),3x1+x2=6(),max Z,min Z,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解(即无最优解),max Z=3x1+4x2,例1.7,图解法,学习要点： 1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式 （唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增加的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动,LP问题的解的特点 若LP问题存在可行域，则其可行域一定为凸集。,凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。,2. 若LP问题有最优解，则一定在可行域的顶点取得。,练习,用图解法求线性规划的最优解。,练习,将下列线性规划问题化为标准形式,
