非参数第三章PPT演示文稿

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1、1,第三章 单样本问题,3.1 广义符号检验和有关的置信区间,例3.1 （数据：ExpensiveCities.TXT ）下面是世界上71个大城市的花费指数按递增次序排列如下（上海是44位，其指数为63.5）： 27.8 27.8 29.1 32.2 32.7 32.7 36.4 36.5 37.5 37.7 38.8 41.9 45.2 45.8 46.0 47.6 48.2 49.9 51.8 52.7 54.9 55.0 55.3 55.5 58.2 60.8 62.7 63.5 64.6 65.3 65.3 65.4 66.2 66.7 67.7 71.2 71.7 73.9 74.3

2、 74.5 76.6 76.8 77.7 77.9 79.1 80.9 81.0 82.6 85.7 86.2 86.4 89.4 89.5 90.3 90.8 91.8 92.8 95.2 97.5 98.2 99.1 99.3 100.0 100.6 104.1 104.6 105.0 109.4 122.4,2,可以假定这个样本是从世界许多大城市中随机抽样得到的，所有大城市的指数组成了总体.有人说64应该是这种大城市花费指数的中位数（median）;而另外有人说，64顶多是下四分位数（first quantile）.这里看上去有两个关于位置参数的不同检验问题. （1）样本中位数M是否大于

3、64. （2）样本下四分位点Q0.25是否小于64. 由于中位数也是分位点（0.5分位点）.这两个问题实际上是一个问题，即关于分位点的检验问题.当然也出现了求 分位点 的 置信区间问题.,3,4,3.1.1 广义符号检验：对分位点进行的检验,所谓的广义符号检验是对连续变量 分位点 进行的检验；而狭义的符号检验则是仅针对中位数 进行的检验.假定检验的零假设是 ， 而备择假设则可能为,记样本中小于 的点数为 ，而大于 的点数为 并且用小写的 和 分别代表 和 的实现值. 记,5,在零假设 下， 应该服从二项分布,对 的检验，下面变量K 的分布为 ， 为样本 分位点,6,而对于 的特例，这时 为中位

4、数，通常记为M ，则有下面的表.,对 的检验，变量 的分布为,7,例3.1（续）下面讨论例3.1的样本下四分位点 是否小于64的检验.则检验问题是,8,再看关于64是否为中位数的检验，,大样本正态近似,9,3.1.2 基于符号检验的中位数及分位点的置信区间,中位数 的对称置信区间.首先我们考虑关于中位数 的基于符号检验的 置信区间.它定义为： 对于显著性水平为 的中位数的双边符号检验 ， 不会使 被拒绝的那些零假设点 的集合.,10,例3.2（数据：tax.txt）下面是随机抽取的22个企业的纳税额.数据已经按照升幂排列. 1.00 1.35 1.99 2.05 2.06 2.10 2.30

5、2.61 2.86 2.95 2.98 3.23 3.73 4.03 4.82 5.24 6.10 6.64 6.81 6.86 7.11 9.00,11,3.2 Wilcoxon符号秩检验，点估计和区间估计,Wilcoxon符号秩检验：把观测值和零假设的中心位置之差的绝对值的秩分别按照不同的符号相加作为其检验统计量.注意，该检验需要假定样本点 来自连续对称总体分布.,例3.3 （数据：EuroAlc.txt）下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒类相当于纯酒精数（单位：升），数据已经按照升幂排列. 4.12 5.81 7.63 9.74 10.39 11.92 12.32 12.89 13

6、.54 14.45 检验问题是：,12,Wilcoxon符号秩检验步骤如下：,（1）计算,3.88 2.19 0.37 1.74 2.39 3.92 4.32 4.89 5.54 6.45,（2）把上面的n个绝对值排序，并找出它们的n个秩，如果有相同的样本点，每个点取平均秩.,5 3 1 2 4 6 7 8 9 10,（3）令 等于 的 的秩的和. 而 等于 的 的秩的和.注意：,13,（4）对双边检验 ，在零假设下， 和 应该差不多.因而，当其中之一很小时，应怀疑零假设.取检验统计量,类似的，对 的单边检验取,对 的单边检验取,14,（5）根据得到的W值，利用统计软件或查Wilcoxon符号

7、秩检验的分布表以得到在零假设下的p值. Psignrank(w,10)得到p=0.032 （6）如果p值较小，则可以拒绝零假设.如果p值较大则没有充分证据来拒绝零假设，但不意味着接受零假设., wilcox.test(x-8,alt=greater) Wilcoxon signed rank test data: x - 8 V = 46, p-value = 0.03223 alternative hypothesis: true location is greater than 0,15,W+在零假设下的分布.,注意 W+和 W- Wilcoxon分布的关系,16,3.2.2 基于Wilc

8、oxon符号秩检验的点估计和区间估计.,首先求每两个数的平均 （一共有 个）来扩大样本数目.这样的平均称为Walsh平均.可 以证明前面的统计量 W+等于大于零的Walsh平均的个数.即,如果考虑移位 ，即 ，同样可以用,17,对称中心 可由Walsh平均的中位数来估计，称为Hodge-Lehmann估计量：,利用Walsh平均还可以得到 的置信区间，先按照升幂排列Walsh平均，记为 ，则 的 置信区间为,这里整数k由 来决定.,18,在大样本时，用类似于Wilcoxon检验的近似得到,例3.3欧洲酒精人均消费的例子.Walsh平均有55个值（按照升幂排列） 4.120 4.965 5.81

9、0 5.875 6.720 6.930 7.255 7.630 7.775 8.020 8.100 8.220 8.505 8.685 8.830 8.865 9.010 9.065 9.285 9.350 9.675 9.740 9.775 9.975 10.065 10.130 10.260 10.390 10.585 10.830 11.030 11.040 11.155 11.315 11.355 11.640 11.640 11.920 11.965 12.095 12.120 12.320 12.405 12.420 12.605 12.730 12.890 12.930 13.1

10、85 13.215 13.385 13.540 13.670 13.995 14.450,19,3.3 正态记分检验,考虑线性秩统计量 ，要 按照正态分布来定义记分函数，为了使 ，不 用 作为这里的记分，而稍微改变一下记分函数使其为,经过相应的替换后,20,把 标准化，就得到这里的对单样本位置的所谓正态记分检验统计量,如果观测值的总体分布接近于正态，或者在大样本情况下，可以认为T近似的有标准正态分布.实际上，对于很小的样本也适用.如果记 ，则有,大约等于 ，也就是说，它和期望正态记分相近.,21,例3.3 的正态记分检验,22,正态记分（NS+）相对于Wilcoxon符号秩检验（W+）对于不同

11、总体分布的ARE,23,3.4 Cox-Stuart趋势检验,例3.4（数据：TJAir.txt ）天津机场从1995年1月到2003年12月的108个月旅客吞吐量（人次）,54379 45461 55408 59712 60776 57635 63335 71296 70250 76866 75561 66427 61330 58186 67799 76360 86207 75509 83020 89614 75791 80835 72179 61520 66726 60629 68549 73310 80719 67759 70352 82825 70541 74631 68938 533

12、18 62653 58578 63292 69535 73379 62859 72873 87260 67559 76647 70590 58935 58161 64057 63051 58807 63663 57367 70854 79949 66992 80140 62260 55942 58367 56673 61039 74958 85859 67263 87183 97575 79988 88501 68600 58442 68955 56835 67021 81547 85118 70145 95080 106186 86103 88548 70090 65550 69223 85

13、138 89799 99513 98114 68172 97366 116820 95665 109881 87068 75362 88268 85183 87909 79976 27687 50178 100878 131788 116293 120770 104958 109603,24, plot(x,xlab=Month,ylab=Number of Passenger) lines(x),25,主要有三种检验： （1）H0：无增长趋势； H1：有增长趋势. （2）H0：无减少趋势； H1：有减少趋势. （3）H0：无趋势； H1：有增长或减少趋势.,形式上，该检验问题可以重新叙述为：

14、假定独立观 测值 分别来自分布为 的总体，这里 对称于零点.上面第一个单边检验为 ，对 （至少一个不等式是严格的）.,26,可以把每个观测值和相隔大约 的另一个观测值配对比较，因此大约有 个对子.然后看增长的对子和减少的对子各有多少来判断总的趋势.具体做法为，取 和 组成一对 ，这里,用每一对的两元素差 的符号来衡量增减.令 为正的 的数目，而令 为负的 的数目.显然当正号太多时，即 很大时，有下降趋势,反之，则有增长趋势.,27,类似于符号检验，对于上面1，2，3三种检验，分别取检验统计量 .这里,在例3.4中，由于 ，表明可能有增长的趋势，考虑检验： H0：无增长趋势； H1：有增长趋势.

15、,28,Cox-Stuart趋势检验的过程总结如下：,29,关于随机性的游程检验（run test）,游程检验方法是检验一个取两个值的变量的这两个值的出现是否是随机的. 例1：假定下面是由0和1组成的一个这种变量的样本（数据run1.sav）： 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 其中相同的0（或相同的1）在一起称为一个游程（单独的0或1也算）. 这个数据中有4个0组成的游程和3个1组成的游程。一共是R=7个游程。其中0的个数为m=15，而1的个数为n=10.,30,例2 （数据：run01.txt）假定我们掷一个硬币，以概率p出现正面（记为1），以概率1-p出现反面（记为0）；这是一个Bernoulli试验，如果这个试验是随机的，则不大可能出现许多1或许多0连在一起，也不可能0和1交替出现的太频繁.例如，下面为一例这样的结果 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 则上面这组数中有3个0游程，2个1游程，一共5个游程.0的总个数为m=13,1的总个数n=10，总的试验次数N=m+n=23.,31,出现0和1的的这样一个过程可以看成是参数为某未知p的Bernoulli试验。但在给定了m和n之后，在0和1的出现是随机的零假设之下，R的条件分布就和这个