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1、1,第四章 恒定磁场,2,4.1 磁力和磁感应强度,1、磁现象的电本质,现象：磁铁、磁性、南极、北极,本质：分子电流假说,3,任何物质的分子都存在着圆形电流，称为分子电流。 每个分子电流都相当于一个基本磁元体。,2、磁场,运动的电荷在其周围空间激励出了磁场这种特殊的物质。,磁作用力都是通过磁场来传递的。,3、磁单极子,理论上预言存在，但是没有在实验中发现,即使存在也是极少的，不会影响现有的一般工程应用。,4,图45 亥姆霍兹线圈,4、磁感应强度,模值：表示某点上的磁场强弱,方向：该点的磁场方向,用运动电荷在磁场中受力来定义。,亥姆霍兹线圈实验的结论：,综合上述三点，运动电荷在磁场中所受的磁力表
2、示为,将 定义为磁感应强度 ，则,或,5,讨论：, 的模值与方向,模值：单位运动电荷在该点所受到的最大磁力,方向： 、 和 是相互垂直的,洛仑兹力,洛仑兹力对电荷的运动不做功，它只改变电荷的运动方向，而不改变其运动速度的大小。,洛仑兹力方程,6,的单位：,在SI单位制中，为特斯拉（T）,1 特斯拉 1 (牛顿秒)/(库仑米),高斯单位制中，为高斯（Gs ),1 T104 Gs,5、磁感应线,磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度 的方向；,通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数正比于该点 值的大小。,7,4.2 带电粒子在磁场中的运动,一. 垂直磁场的圆周运动,洛仑兹力,若 则,利用牛顿第
3、二定律和匀速圆周运动的加速度公式，有,所以，回转半径,回转周期,称为荷质比,8,二. 沿磁场方向的螺旋运动,当带电粒子进入均匀磁场的初速度与磁场不垂直时，粒子沿螺线运动。,螺旋线的半径,螺旋线的螺距,9,应用,10,三. 回旋加速器,图414 回旋加速器,回旋加速器的优点在于以不很高的振荡电压对粒子不断加速而使其获极高的动能。,设D形盒的半径为R0，则离子所能达到的最大速率和动能是,若换成一次加速形式的直线加速器来实现同样的动能，则,一千八百万伏,11,四. 霍耳效应,若载流子是正电荷，则,当电场力和洛仑兹力达到平衡时,若载流子是负电荷，则,将一块导电材料板放在垂直于它的磁场中，当板内有电流
4、I 通过时，在导电板的两个侧面A、C 间会产生一个电位差UAC，这种现象称为霍耳效应 。,应用：确定半导体载流子形式； 磁场测量（高斯计）,12,13,4.3 安培磁力定律和毕奥-沙伐定律,一、安培磁力定律,1、表达式,表示 l1 l2上的电流元,表示 到 的相对位置矢量,是表征真空磁性质的常数，称为真空磁导率,2、安培磁力定律符合牛顿第三定律,14,二、毕奥-沙伐定律,将安培磁力定律改写为,写成微分形式,而电流回路所受磁力可以归结为回路中运动电荷受力的结果,与运动电荷的洛仑兹力公式相比，可将dl2处的磁感应强度记作,1、电流回路的,15,2、电流元的,回路 的表达式中的被积函数应为电流元 在
5、场点处产生的磁感应强度矢量元,3、分布电流的,电流体分布,电流面分布,16,三、电流回路在磁场中受力,1、回路受力,2、回路上电流元受力,四、真空中的磁场强度,定义：,单位：安培/米（A / m）,可以定义为磁场中一点上单位电流元所受到的最大磁力。,17,例4.2 求通过电流 I 的一段直导线在空间任意点产生的磁感应强度,解：建立坐标系,以导线为 z 轴，导线中点为原点。由对称性知，场值与 无关，可 在 的平面内求解。,求电流元表达式,所以,求被积函数中的矢量项,所以,18,应用毕奥沙伐定律,对于无限长的直线电流情况,其中,时,所以,可见，直线电流段产生的磁场与电流成右手螺旋关系。,19,例4
6、.3 一圆形载流回路的半径为a，电流强度为I，求回路轴线上的磁感应强度。,解：建立坐标系。令回路轴线与z轴重合，取圆心为坐标系原点。,对于z轴上的任意场点， 与 相互垂直,由毕奥沙伐定律求解,故,将dB沿z 轴分解，可得,分析对称性可知整个电流回路的磁场只有平行方向分量，即,20,五、电流回路在磁场中受到的转矩,例4.4 分析半径为 的圆形细导线载流回路在均匀外磁场 中所受的磁场力。,以回路中心为坐标系原点，回路法线方向与 z 轴正方向一致，建立直角坐标系。,由安培磁力定律，可得,这表明均匀磁场中的闭合电流回路所受的总磁力为零。但此力为零只说明回路不受使其产生位移的力，由于回路各部分所受磁力的
7、方向不同，它将受到转矩作用而发生旋转。,解：（1）求总磁场力,21,（2）求磁场力的转矩,考虑磁感应强度的两个分量,使回路受到向圆环外的张力,使回路绕y轴作反时针旋转,求Bx的转矩,电流元 和 共同产生的转矩为,回路所受的总转矩为,用磁矩表示转矩,定义电流回路的磁矩 ，则,22,4.4 恒定磁场的基本定律,一、安培回路定律,1、积分形式,（1）磁场强度 的闭合围线积分（单个回路）, 假定空间磁场由电流回路产生,根据毕奥沙伐定律，得,任取一个闭合回路，则 在此回路上的积分为,23,立体角的增量,所包围的面积对P点构成一个立体角,回路不动，P 移动,P不动， 回路移动,环带对P所张立体角,环带上,
8、对P的立体角,24,用d表示 的闭合围线积分, 表示P点沿 l 运动一周所引起的立体角的总改变量。,讨论,a. 积分回路与电流回路相交链,积分回路选择AB，对应曲面两侧,按右手关系选择回路所围曲面的法向,A与法线同侧 A= - 2,B与法线异侧 B= 2,所以,当回路的积分方向与穿过其截面的电流I 符合右手定则时，取正值；反之，取负值。,25,b. 积分回路与电流回路不交链,此时P点沿l位移则立体角一直连续改变，当P点位移一周回到原来位置时，立体角也回复到原值，所以,应当明确，所谓电流 I 与回路 l 交链，是指该电流必须穿过以 l 为边界的任意曲面。,26,（2）多个电流回路存在时， 的围线
9、积分,（3）电流体分布时， 的围线积分,对于一个电流N 次与 l 交链的情况,安培回路定律的积分形式,2、微分形式,利用斯托克斯定理,得安培回路定律的微分形式,物理意义：反映了磁场空间一点上的磁场强度矢量与该点电流密度的关系，表明了电流是磁场的“漩涡源”。磁场是一个有旋场和非保守场。,27,例4.5 半径为 a 的无限长导体圆柱上流有恒定电流I ，求空间任意点的磁场强度。,解：建立坐标系,令圆柱体的轴线与圆柱坐标系z轴重合，建立圆柱坐标系。,求出电流分布,利用安培环路定律求解,或,28,或,从结果可以看出，在 r a 的位置感受到的磁场强度与所有的电流集中在轴线上的无限长线电流所产生的磁场强度
10、是相同的。,29,例4.6 如图的环状螺线管叫做螺绕环。设环管的轴线半径为R，环上均匀密绕N匝线圈，线圈内通有恒定电流I。 求：螺绕环内外的磁场。,解：建立圆柱坐标系求解,利用安培环路定律求,在环管内： ，所以,在环管外： 与积分回路交链的总电流为零，所以,当环管截面半径远小于环半径 R 时，可近似取 r = R，此时,其中 为螺绕环单位长度的线圈匝数。,长直螺线管可以看成是 的螺绕环,30,例4.7 计算面密度为 JS 的无限大均匀电流平面的磁场。,解： 建立坐标系 无限大平面电流可看成由无限多根平行排列的长直线电流组成。,利用安培环路定律求,分析对称性可知磁场的特点：,a. 磁场平行于电流
11、面； b. 磁场大小与场点与水平位置无关； c. 平面两侧的磁场方向相反,取安培回路 abcd，则有,因此,31,二、磁场“高斯定律”（磁通连续方程）,1、微分形式,电流元 的磁感应强度,上式两边对场点P的坐标求散度,利用恒等式 ，得,32,区域内所有电流的磁场感应强度,两边取散度，得,即,表明恒定磁场是一个无散场。,2、积分形式,应用散度定理得,恒定磁场第二定律,3、磁通量,单位：韦伯（Wb）, 也称为磁通密度,单位：韦伯/米2（Wb/m2）,定义：磁感应强度 在某曲面 上的面积分,33,4.5 矢量磁位和标量磁位,一. 矢量磁位,1、引入,磁场的高斯定律 表明磁场是无散源场，可引入矢量位
12、。,定义式：,称为矢量磁位或磁矢位，单位：韦伯/米,2、库仑规范,只根据 定义式，无法确定,证明：如果 是满足定义式的一个解，则令,于是,而,故,所以对一个给定 的将有无穷多个 与之对应,34,为了避免 的这种随意性，必须再对其附加另外的限制，这个限制就是给定 的散度。,3、矢量磁位 的微分方程,利用矢量恒等式 和库仑规范,利用矢量磁位的定义式和安培环路定理，得,矢量的拉普拉斯运算由 确定,35,三个分量分别满足标量泊松方程,在直角坐标系中， 具有如下形式,对无界空间情况，且场源电流分布在有限区域内，方程的解为,将以上三式矢量相加，就得到矢量泊松方程在无界空间内的解,36,电流元 所产生的磁矢
13、位为,电流面分布,电流线分布,利用磁矢位解决磁场问题，一般是求出分布电流所产生的 ，然后再通过 计算出对应的 。,这些表达式只适用于电流分布在有限区域的情况。,37,例4.8 计算无限长直线电流产生的磁矢量位 和磁通量密度 。,解： 首先计算一段长度 l 为的直线电流段产生的磁矢位,利用线电流分布时， 解的表达式得,38,当 时,可见，由上式得到无限长直线电流产生的 趋于无穷大,错误原因：,零参考点选择在非无限远的某点上。,解决办法：,对于源电流分布于无限区域的情况，如果再以无限远为磁矢位参考点，就会导致场点 值的发散。,39,选取 为参考点，并构造一个新的磁矢位,令,和 是按照电流分布在有限
14、区域时的计算公式得到的磁矢位,作代换 ，则,磁通量密度可以求得：,这与安培回路定律或毕奥沙伐定律所求出的结果完全相同 。,40,例4.9 双导线传输线可以视为通过反方向电流的无限长平行直线电流，设线间距离为2a，如图所示。 求它所产生 的和 。,解：利用例4.8的结果可得,41,二. 标量磁位,1、引入,对于 的区域，即无电流的区域，可以引入标量位,称为标量磁位或磁标位，单位是安培（A）,对上式取散度，并由磁场高斯定律可得到,这表明磁标位满足拉普拉斯方程 ，比求解矢量磁位的矢量微分方程要容易。,2、 的微分方程,定义式：,根据 的定义式，得,42,3、求解标量磁位,求解微分方程,利用等效磁荷的
15、位叠加原理（ 4.7）,利用磁场强度求解,P0 是磁标位的参考点,场源电流分布在有限区域内时， 常将P0选在无穷远处，此时,根据 的定义式,必须注意： 只能用在无电流的区域内，并且 的积分路径一般也不与电流回路交链，否则会出现多值性。,可得,43,4、闭合回路的,其中的是点 P 对回路 所张的立体角,利用安培回路定律的推导过程,可得,所以,如图，求回路 在P 处的,一般解,44,远区解,当 P 点与回路的距离比回路 的尺寸大得多时，可以看作是远区场的情况，此时立体角可以近似写成,利用一般解的表达式,可得,45,例4.10 一半径为 a 的圆形细导线回路上流有恒定电流I，求回路中心上方任意点P处的 和 。,解：以场点 为球心，R为半径做一球面，则圆形回路在球面上截出的球冠面积为,S 对P 点所张的立体角为,所以轴线上磁标位为,由对称关系可以看出在轴线上磁通量密度只与 z 有关，所以,46,4.6 磁偶极子,1、定义,若一个平面电流回路的尺寸远远小于场点到该回路的距离，此电流回路可以视为一个矢量点源，称为磁偶极子。,2、磁偶极子的,计算式,磁偶极子 的,整理得,由定义,47,3、磁偶极子产生的磁矢位,根据定义式,和磁偶极子的 表达式,可以凑出磁矢位表达式,
