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1、第 4 课时 直线与圆的位置关系【学习目标】1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些 简单问题；3、初步了解用代数方法解决几何问题的思想；【重点、难点】1、直线与圆的位置关系的判断；2、利用圆的几何性质解决弦长 和切线问题及数形结合的思想方法；【学习内容】一、课前自主学习检查1.运用小组合作、互助的方式，解决课前预习的内容；2.通过各小组代表汇报，了解学生解决 问题的相关情况，解决学生预习中存在的问题；3.通过课前预习题的解决，回 顾、建立本 节课的知识、方法的结构体系。二、知识巩固与强化1、求过点(3，1)且与圆 x22xy 230 相切的直线方程
2、2、从点 A(3，3) 发出的光线 l 经 x 轴反射，反射 线所在直线与圆x2y 24x4y70 相切，求 l 所在直线方程3、已知一圆过 A(2，4) 、B(3，1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6，求该圆的方程 三、典型例题 变式训练例 1、已知圆 ，若 圆 的切 线在 轴和 轴上的截距相2:430CxyCxy等，求此切线的方程； 例 2、 已知圆 C：(x-1)2+(y-2)2=25，直 线 l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，（mR）(1)证明：不论 m 取什么实数时，直线 l 与圆恒相交于两点；(2)求直线 l 被圆 C 截得线段长度最小时直线 l 的方程。例 3
3、、已知 mR，直线 l： 和圆 C： 。2(1)4xym284160xy（1）求直线 l 斜率的取值范围 ；（2）直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧？ 为什么？ 四、 总结提升1、直线和圆的位置关系有且仅 有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直 线与 圆的方程联立所得方程组的解的个数；2、根据直线和圆的位置关系求弦 长，一般不用判 别式，而是用圆心到直线的距离，半弦长与半径的勾股定理关系求解；3、圆与直线 l 相切的情形圆心到直线 l 的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于直线 l；4、圆与直线 l 相交的情形
4、圆心到 l 的距离小于半径，过圆心而垂直于 l 的直线平分直线被圆截得的弦，连接圆心与弦的中点的直 线垂直于弦，过圆内的一点的所有弦中，最短的是垂直于过此点的直径的那条弦，最 长的为直径；5、在解决有关圆的解析几何题时 ，主 动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算。【当堂训练】1.设 m0，则直线 （x+y）+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为 22.求与直线 3x2y 40 垂直且与圆 x22xy 230 相切的切线方程 3.已知直线 kxy60 被圆 x2y 225 截得的弦长为 8，求实数 k 的值 4.求与 x 轴相切， 圆心在直线 3xy0 上，且被直
5、线 yx 截得的弦长等于 2 的圆的方7程 5.已知点 A(0，2)和圆 C：(x6) 2( y4) 2 ，一条光 线 从 A 点出发射到 x 轴上后沿圆的切536线方向反射，求这条光线从 A 点到切点所经过的路程长 课后自我检测 1、已知点 ，则直线 的倾斜角是 )3,1(),(BAB2、过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 方程是 3P3、已知直线 和圆 ，则此直 线与已知圆的位置关系为 02yx42yx4、“a=b”是“直线 y=x+2 与圆（x-a） 2+(y-b)2=2 相切”的 条件5、圆 关于直线 对称的圆的方程是 269506、过坐标原点且与圆 相切的直 线的方程为 2
6、42yx7、直线 被圆 截得的弦 的长为 03:yxl 4:CAB8、圆 x2+y2-2axcos -2bysin -a2sin2 =0 在 x 轴上截得的弦 长为 9、设 M 是圆 上的点， 则 M 点到直线 的最短距离是 2(5)39320xy。10、圆 上到直线 的距离 为 的点共有 个240y1y11、已知 M（ x0， y0）是圆 x2+y2=r2（ r0）内异于圆心的一点，则直线 x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系? 12、求经过 A(0,5)，且与直线 x-2y=0 和 3x+y=0 都相切的圆的方程 课后自由发展 1、直线 与圆 没有公共点，则 的取值范围是 1yx )0
7、(22ayx a2、设直线 过点 ，且与圆 相切，则 的斜率是 l)0,(1l3、已知直线 与圆 相切，则 的值为 25ayx22yx4、设直线 与圆 相交于 、 两点，且弦 的长为03yax 4)2()1(2yxABA，则 .25、直线 截 圆 得的劣弧所 对的圆心角为 2yx2yx6、若圆 x2+y2+mx =0 与直线 y=1 相切，且其圆心在 y 轴的左侧，则 m 的值为_ 417、直线 与圆 在第一象限内有两个不同交点，则 的取值范围是 m2x8、若曲线 与直线 有两个交点时，则实数 的范围为_ 1y()(2)4ykxk9、若圆（x3） 2（y+5） 2r 2 上有且只有两个点到直线
8、 4x3y=2 的距离等于 1，则半径 r 的范围是 10、已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点 为 A（1，2），要使过定点 A（1，2）作圆的切线有两条，求 a 的取值范围. 11、已知点 在圆 上运动.),(P)1(22（1）求 的最大值与最小值；（2）求 的最大值与最小值. xyyx参考答案课前自主学习1、相切；2、-1；3、 ；4、y=x+1；5、32xy6知识巩固与强化1、解： 圆的方程可化为(x 1) 2y 22 2，圆心为 C(1，0)，半径 r2 (31) 21 22 2，点(3，1)在已知圆外设过点(3，1) 的切 线方程为 y1k(x3)，即 kxy3
9、k 10圆 心 C 到切线的距离 d 2，解得 k |3| 4一条切线的方程为 y1 (x3)4从 圆外一点引圆的切线应有两条，此处 k 仅一解，另一切 线是平行于 y 轴的直线，方程为 x3，所求的切线方程为 3x4y 130 和 x32、解：解法一 如图 235， 设入射光线 l 的斜率为 k，则由 x 轴反射后反射光线 l的斜率为k l 的方程为 y3k(x 3)令 y0，得入射点 P( 3，0)故 l方程为 y k(x 3)，即 kxy 3k30圆 方程即 (x 2)2(y2) 21，圆心(2，2)，半径 为 1，xoyPPA(3，3) o llllA由 d r，得 1，|32|k即
10、12k225k120，解得 k 或 34l 的方程为 y3 (x3)或 y3 (x3)，即 4x3y30 和3x4y30解法二 如图 235，点 A(3， 3)关于 x 轴的对称点为 A(3，3)设过 A与圆相切的直 线方程(即反射线方程)为 y3k(x3)，即 kxy3k30同上，圆心(2，2)到它的距离等于半径长，即 1，解得 k 或 ，|2|4直 线 l 的斜率 为 或 34故所求直线 l 的方程为 4x3y30 或 3x4y30解法三 如图 236，已知圆 关于 x 轴的对称圆的圆心为(2，2)，半径为 1设 l 的方程为 y3k(x3)， 1，解得 k 或 |2|k34故所求直线 l
11、 的方程为 4x3y30 或 3x4y303、解：可求得线段 AB 的中垂线方程为 xy10设所求圆的方程为(xa) 2(yb) 2r 2则圆心 C(a，b)必在线段 AB 的中垂线上，ab10 由已知C 截 x 轴所得的线段长为 6，而 C 到 x 轴的距离等于 |b| r2b 2( )2， 又 r|AC| 2)4(ba由、得 a24a48b0 解、组成的方程组，得或， ， 1b ， 32于是 r1213，r 2225故所求的圆的方程为(x1) 2 (y2) 213 或(x3) 2(y 4)225变式训练，自主研究4、解：（1）切线 在 轴和 轴上的截距相等，x当截距不为零时，设切线方程为
12、，xya又 圆 圆心 到切线的距离等于圆半径 ，22:()()Cy(1,2)C2xoA( 3，3) yll即 或 ，121,aa3当截距为零时，设 ，同理可得 或 。ykx26k26k所求切线的方程为 或 或 或1030y()x(26)yx5、（1）证明：l 的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即 l 恒过定点 A（3，1）.圆 心 C（1，2），AC 5（半径），点 A 在圆 C 内，从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由 kAC ，21l 的方程为 2x y5=0.6、解：（I）直线 l 的方程可化为
13、，224mx直线 l 的斜率 ，21k因为 ，|()m所以 ，当且 仅当 时等号成立。2|12k|1m所以，斜率 的取值范围是 。1,（II）不能。由（I）知 l 的方程可化为 ，其中 。(4)ykx1|2k圆 C 的圆心为 C（4，-2），半径 。2r圆心 C 到 l 的距离 。1dk由 ，得 ，即 。从而，若 l 与圆 C 相交，则圆 C 截直线 l 所得的1|2k452r弦所对的圆心角小于 。3所以直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧。12当堂训练1、相切或相离；mR， 得2、2x+3y-2+ =0 or 2x+3y-2- =0；131323、k=1 or -1；4、(
14、x-1)+(y-3)=9 或者(x+1)+(y+3)=9；5、 ；8课后自我检测1、 ； 2、y=x+1 ； 3、相交 ； 4、充分不必要 ； 5、（x+7)2+(y+1)2=1；36、y=-3x or y= ； 7、 ； 8、2 |acos| ； 9、2 ； 10、3 ；x1011、解：圆心 O（0，0）到直线 x0x+y0y=r2 的距离为 d= .20yxrP（x0，y0）在圆内， r，故直线和圆相离12、 (x-1) 2+(y-3) 2=5or (x-5)2+(y-15)2=125课后自由发展1、0a -1； 2、 or - ； 3、8 或-18 ； 4、0； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 (4,6)3),1(3,12510、解：将圆的方程配方得（x + ）2+（y+1）2= ，a4a圆心 C 的坐标为（ ，1），半径 r= ，32条件是 43a 20，过点 A（1，2）所作圆的切线有两条， 则点 A 必在圆外，即 .)()
