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1、最小二乘拟合在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。一、最小二乘法原理在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而
2、把所有的误差只认为是 y 的误差。设 x 和y 的函数关系由理论公式y f（ x； c1， c2， cm） （0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm是 m 个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（ xi， yi） i1，2，N。都对应于 xy 平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1） ，便得到方程组yi f（ x； c1， c2， cm） （0-0-2） 式中 i1，2，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。显然 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能
3、用曲线拟合的方法来处理。设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y 的观测值 yi围绕着期望值 摆动，其分布为正态分布，则 yi的概率密度为,221,.;epimiiii cxfyp式中 是分布的标准误差。为简便起见，下面用 C 代表（ c1， c2， cm） 。考虑各次i测量是相互独立的，故观测值（ y1， y2， cN）的似然函数.iiiN xfyL1221 ;exp. 取似然函数 L 最大来估计参数 C，应使（0-0-3）min;122Ni iixfy取最小值：对于 y 的分布不限于正态分布来说，式（0-0-3）称为最小二乘法准则。若为正态分布的情况，则最大似然法与最小二乘法是一致的
4、。因权重因子 ，故式2/1ii（0-0-3）表明，用最小二乘法来估计参数，要求各测量值 yi的偏差的加权平方和为最小。根据式（0-0-3）的要求，应有 mkCxfyccNi iik ,.210;122 从而得到方程组（0-0-4）ffci kii ,.;12解方程组（0-0-4） ，即得 m 个参数的估计值 ，从而得到拟合的曲线方程m,.21。mcxf,.;21然而，对拟合的结果还应给予合理的评价。若 yi服从正态分布，可引入拟合的 x2量，（0-0-5）Ni iiCxfx1222;把参数估计 代入上式并比较式（0-0-3） ，便得到最小的 x2值mcc,.21（0-0-6）Ni iicfy1
5、222in;可以证明， 服从自由度 v N-m 的 x2分布，由此可对拟合结果作 x2检验。2minx由 x2分布得知，随机变量 的期望值为 N-m。如果由式（0-0-6）计算出 接近2min minN-m（例如 ） ，则认为拟合结果是可接受的；如果 ，则Nin2minN认为拟合结果与观测值有显著的矛盾。二、直线的最小二乘拟合曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。设 x 和 y 之间的函数关系由直线方程y a0+a1x (0-0-7)给出。式中有两个待定参数， a0代表截距， a1代表斜率。对于等精度测量所得到的 N组数据（ xi， yi） ， i 1， 2， N， xi值被认为是准确的，所有
6、的误差只联系着 yi。下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。1直线参数的估计前面指出，用最小二乘法估计参数时，要求观测值 yi的偏差的加权平方和为最小。对于等精度观测值的直线拟合来说，由式（0-0-3）可使（0-0-8）aNi iixay1210最小即对参数 a（代表 a0， a1）最佳估计，要求观测值 yi的偏差的平方和为最小。根据式（0-0-8）的要求，应有 ,0211012100 Ni iiaNi ii xxy . i iii ii aya整理后得到正规方程组.,210 iii iiyxaxN解正规方程组便可求得直线参数 a0和 a1的最佳估计值 和 。即0a1（0-0-10）222i
7、i iiii xNy（0-0-11）221ii iii yxa2拟合结果的偏差由于直线参数的估计值 和 是根据有误差的观测数据点计算出来的，它们不可避01免地存在着偏差。同时，各个观测数据点不是都准确地落地拟合线上面的，观测值 yi与对应于拟合直线上的 这之间也就有偏差。iy首先讨论测量值 yi的标准差 S。考虑式（0-0-6） ，因等精度测量值 yi所有的 都相i同，可用 yi的标准偏差 S 来估计，故该式在等精度测量值的直线拟合中应表示为（0-0-12）.12102minNiixayx已知测量值服从正态分布时， 服从自由度 v N-2 的 x2分布，其期望值i .11022in NSNi
8、ii由此可得 yi的标准偏差（0-0-13）.2110Ni iixay这个表示式不难理解，它与贝塞尔公式是一致的，只不过这里计算 S 时受到两参数和 估计式的约束，故自由度变为 N-2 罢了。0a1式（0-0-13）所表示的 S 值又称为拟合直线的标准偏差，它是检验拟合结果是否有效的重要标志。如果 xy 平面上作两条与拟合直线平行的直线 ,1010 SxaySxay如图 0-0-1 所示，则全部观测数据点（ xi， yi）的分布，约有 68.3%的点落在这两条直线之间的范围内。图 0-0-1 拟合直线两侧数据点的分布下面讨论拟合参数偏差，由式（0-0-10）和（0-0-11）可见，直线拟合的两
9、个参数估计值 和 是 yi的函数。因为假定 xI是精确的，所有测量误差只有 yi有关，故两个估计0a1参数的标准偏差可利用不确定度传递公式求得，即 .; 2121010 NiiaNiia SSyS把式（0-0-10）与（0-0-11）分别代入上两式，便可计算得（0-0-14）;220iiiax（0-0-15）.221iiaNS三、相关系数及其显著性检验当我们把观测数据点（ xi， yi）作直线拟合时，还不大了解 x 与 y 之间线性关系的密切程度。为此要用相关系数 （ x， y）来判断。其定义已由式（0-0-12）给出，现改写为另一种形式，并改用 r 表示相关系数，得（0-0-16）2/12iiiiyxx式中 和 分别为 x 和 y 的算术平均值。r 值范围介于-1 与+1 之间，即-1r1。当xyr0 时直线的斜率为正，称正相关；当 r0 时直线的斜率为负，称负相关。当|r|1 时全部数据点（ xi， yi）都落在拟合直线上。若 r0 则 x 与 y 之间完全不相关。r 值愈接近1则它们之间的线性关系愈密切。
