《最小二乘法原理和曲线拟合 (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最小二乘法原理和曲线拟合 (2)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最小二乘法的基本原理和多项式拟合一 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数 同所给数据点 (i=0,1,m)误差(i=0,1,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,m)绝对值的最大值 ，即误差 向量的范数；二是误差绝对值的和 ，即误差向量 r 的 1范数；三是误差平方和 的算术平方根，即误差向量 r 的 2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和 来 度量误差 (i=0，1，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,，m)，在取定的函数类 中,求 ,使误差 (i=0,1,m)
2、的平方和最小，即=从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,m)的距离平方和为最小的曲线 （图 6-1）。函数 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类 可有不同的选取方法.61二 多项式拟合假设给定数据点 (i=0,1,m)， 为所有次数不超过 的多项式构成的函数类，现求一 ,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的 称为最小二乘拟合多项式。特别地，当 n=1 时，称为线性拟合或直线拟合。显然为 的多元函数，因此上述问题即为求 的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得(2)即 (3)（3）是关于 的线性方程
3、组，用矩阵表示为(4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,，n)，从而可得多项式 (5)可以证明，式（5）中的 满足式（1），即 为所求的拟合多项式。我们把 称为最小二乘拟合多项式 的平方误差，记作由式(2)可得(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1) 由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数 n；(2) 列表计算 和 ；(3) 写出正规方程组，求出 ；(4) 写出拟合多项式 。在实际应用中， 或 ；当 时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 例 1 测
4、得铜导线在温度 ()时的电阻 如表 6-1，求电阻 R 与温度 T 的近似函数关系。i 0 1 2 3 4 5 6() 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.076.30 77.8 79.25 80.8 82.35 83.9 85.1解 画出散点图（图 6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取 n=1，拟合函数为列表如下i0 19.1 76.30 364.81 1457.3301 25.0 77.80 625.00 1945.0002 30.1 79.25 906.01 2385.4253 36.0 80.80 1296.00 2908.8004 40.0 82.
5、35 1600.00 3294.0005 45.1 83.90 2034.01 3783.8906 50.0 85.10 2500.00 4255.000245.3 565.5 9325.83 20029.445正规方程组为解方程组得故得 R 与 T 的拟合直线为利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由 R=0 得 T=-242.5，即预测温度T=-242.5 时，铜导线无电阻。6-2例 2 已知实验数据如下表 i 0 1 2 3 4 5 6 7 81 3 4 5 6 7 8 9 1010 5 4 2 1 1 2 3 4试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解 设拟合曲线方程为列表如下I0 1 10 1 1 1 10 101 3 5 9 27 81 15 452 4 4 16 64 256 16 643 5 2 25 125 625 10 504 6 1 36 216 1296 6 365 7 1 49 343 2401 7 496 8 2 64 512 4096 16 1287 9 3 81 729 6561 27 2438 10 4 100 1000 10000 40 40053 32 381 3017 25317 147 1025得正规方程组解得故拟合多项式为
