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1、1最大公约数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质 1：如果 a、b 两数的最大公约数为 d，则 a=md,b=nd,并且（m,n）=1。例如：（24,54）=6,24=46,54=96， （4,9）=1。2、性质 2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。a 与 b 的最小公倍数a,b是 a 与 b 的所有倍数的最大公约数，并且ab=a,b（a,b） 。例如：（18，12）= ，18，12= （18，12）18，12=3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。3、辗转相除法二、热点考题：例 1 两个自然数的最大公约数是 6，最小公倍数是 72。已知其中一个自
2、然数是18，求另一个自然数。（运用性质 2）练一练：甲数是 36，甲、乙两数的最大公约数是 4，最小公倍数是 288，求乙数。例 2 两个自然数的最大公约数是 7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以 7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是 1，最小公倍数是 30。这两个自然数的和是 11，求这两个自然数。”例 3 已知 a 与 b，a 与 c 的最大公约数分别是 12 和 15，a，b，c 的最小公倍数是 120，求 a，b，c。分析与解：因为 12，15 都是 a 的约数，所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数，即是12，1
3、5=60 的倍数。再由a，b，c=120 知， a 只能是 60 或 120。a，c=15，说明 c 没有质因数 2，又因为a，b，c=120=2335，所以 c=15。练一练：已知两数的最大公约数是 21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？例 4 已知两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，求这两个自然数。例 5 已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数。习 题 四1已知某数与 24 的最大公约数为 4，最小公倍数为 168，求此数。2已知两个自然数的最大公约数为 4，最小公倍数为 120，求这两个数。3已知两个自然数的和为 165，它们的最大公约数为
4、15，求这两个数。4已知两个自然数的差为 48，它们的最小公倍数为 60，求这两个数。25已知两个自然数的差为 30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为 450，求这两个自然数。6已知两个自然数的和为 900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数。7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐 6 个，如果减少一条船，正好每船坐 9 人，这个班有多少人？8、一个数被 2 除余 1，被 3 除余 2，被 4 除余 3，被 5 除余 4，被 6 除余 5，此数最小是几？9、已知 A 与 B 的最大公约数为 6，最小公倍数为 84，且 AB42，求 B。10、已知
5、 A 和 B 的最大公约数是 31，且 AB5766，求 A 和 B。11、有一盘水果，3 个 3 个地数余 2 个，4 个 4 个数余 3，5 个 5 个数余 4 个，问这个盘子里最少有多少个水果？家 庭 练 习1.拖拉机前轮直径 64 厘米，后轮直径 96 厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？2.现在有香蕉 42 千克，苹果 112 千克，桔子 70 千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？3、一个数被 2 除余 1，被 3 除余 2，被 4 除余 3，被 5
6、除余 4，被 6 除余 5，此数最小是几？4、将 72 和 120 的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。5、两个自然数的最大公约数是 12，最小公倍数是 72。满足条件的自然数有哪几组？3例 1 用自然数 a 去除 498，450，414，得到相同的余数，a 最大是多少？分析与解：因为 498，450，414 除以 a 所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被 a 整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。例 2 现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？分析与解
7、：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是 1111”入手分析。三个数的和是 1111，它们的公约数一定是 1111 的约数。因为 1111=10111，它的约数只能是 1，11，101 和 1111，由于三个自然数的和是 1111，所以三个自然数都小于 1111，1111 不可能是三个自然数的公约数，而101 是可能的，比如取三个数为 101，101 和 909。所以所求数是 101。练习：1、在 1000 到 2000 之间，能同时被 6、8、10 这三个自然数整除的自然数一共有几个？2、三个连续偶数，它们分别是 12、14、16
8、的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？3、四个连续自然数，它们分别是 6、7、8、9 的倍数，比它们大的这样四个自然数最小各是多少？4、甲、乙、丙三人沿 600 米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 4 米，丙每秒跑 2 米。至少经过多少时间三人又同时从出发点出发？5、两数的乘积是 9000，它们的最大公因数是 15，这个两数各是多少？6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要 1 分、1 分 15 秒和 1 分30 秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？47、两个小于 150 的数的积是 2028，它们的最大公约数是 13，求这两
9、个数。8、有一堆桔子，按每 4 个一堆分少 1 个，按每 5 个一堆分也少 1 个，按每 6 个一堆分还是少 1 个。这堆桔子至少有多少个？【例 3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳 4.5 米，袋鼠每次跳 2.75 米，它们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔 12.375 米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米?【例 5】用长 9 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？【例 6】 （1）A、B 两数的乘积是 216，它们的最小公倍数是 36。 A、B 两数的最大公因数是多少？ （2）甲乙两数的最小公倍数是 288，
10、最大公因数是 4，甲数是 36，乙数是多少？【例 7】 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？练习：1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是 54，甲数是多少？乙数是多少？2.一块长方形地面，长 120 米，宽 60 米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？3.已知两个自然数的积是 5766，它们的最大公约数是 31.求这两个自然数。4有一队同学去野炊，吃饭时
11、，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人一个汤碗，一共用了 91 个碗。参加野炊的至少有多少同学？5带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：163=51，即 16=53+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0） ，那么一定有另外两个整数 q 和r，0rb，使得 a=bq+r。当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。当 r0 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为 ab=qr，0rb。例 1 一个两位数去
12、除 251，得到的余数是 41.求这个两位数。分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于 41 的两位数.解题可从带余除式入手分析。解：被除数除数=商余数，即被除数=除数商+余数，251=除数商+41，251-41=除数商，210=除数商。210=2357，210 的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70，其中 42 和70 大于余数 41.所以除数是 42 或 70.即要求的两位数是 42 或 70。例 2 用一个自然数去除另一个整数，商 40，余数是 16.被除数、除数、商数与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少？解：被除数=除数商+余数，即被除数=除数40+
13、16。由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，（除数40+16）+除数=877，除数41=877-16，除数=86141，除数=21，被除数=2140+16=856。答：被除数是 856，除数是 21。例 3 某年的十月里有 5 个星期六，4 个星期日，问这年的 10 月 1 日是星期几？解：十月份共有 31 天，每周共有 7 天，31=74+3，根据题意可知：有 5 天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。这年的 10 月 1 日是星期四。例 4 3 月 18 日是星期日，从 3 月 17 日作为第一天开始往回数（即 3 月 16 日（第二天） ，15 日（第三天） ，）的第
14、1993 天是星期几？解：每周有 7 天，19937=284（周）5（天） ，从星期日往回数 5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二.例 5 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数。这是一道古算题.它早在孙子算经中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”6关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以 3 的余数乘以 70，用除以 5 的余数乘以 21，用除以 7 的余数乘以 15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于 10
15、5，那么就减去 105，直至小于 105 为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法 1：270+321+215=233233-1052=23符合条件的最小自然数是 23。例 5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法 2：3，7+2=2323 除以 5 恰好余 3。所以，符合条件的最小自然数是 23。方法 2 的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。例 6 一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条件的最小的自然数。分析 “除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除” ，同样“除以 6 余 4”即“加 2 后被6 整除” 。解：5，6-2=28，即
16、28 适合前两个条件。想：28+5，6？之后能满足“7 除余 1”的条件？28+5，64=148，148=217+1，又 148210=5，6，7所以，适合条件的最小的自然数是 148。例 7 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自然数。解：想：2+3？之后能满足“5 除余 3”的条件？2+32=8。再想：8+3，5？之后能满足“7 除余 4”的条件？8+3，53=53。符合条件的最小的自然数是 53。归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。例 8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取 3 个，最后剩 1 个；
