线性系统的能控性与能观测性参考PPT

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1、1,第三章 线性控制系统的能控性与能观测性分析,3.1 线性连续系统的能控性,3.2 线性连续系统的能观测性,3.3 对偶原理,3.5 线性系统的结构分解,3.6 线性连续系统的实现,3.7 传递函数与能控性及能观测性之间的关系,3.4 线性离散系统的能控性和能观测性,2,每一个状态变量 运动都可由输入u(t)来影响和控制，而由任意的始点达到原点状态能控。,对能控性和能观测性的直观讨论,状态 的任意形式的运动均可由输出完全反映 状态能观测。,3,能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先

2、提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。,在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。,4,3.1.1 概述,3.1 线性连续系统的能控性,能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。,例 3.1 给定系统的描述为,将其表为标量方程组形式，有：,分析：X1、X2受控于U

3、Y与X1无关 Y与 X2有关,5,例3.2：判断下列电路的能控和能观测性,左上图：输入u（t），状态x（t），输出y（t）。,右上图：输入u（t），状态x1（t）， x2（t）。,左图：输入u（t）， 状态x1（t）， x2（t）， 输出y（t） 。,6,3.1.2 能控性的定义,线性时变系统的状态空间描述：,其中：X 为 n 维状态向量；,U 为 m 维输入向量；,J 为时间 t 的定义区间；,A为 n*n 的元为 t 的连续函数的矩阵；,B 为 n*m的元为 t 的连续函数的矩阵。,7,定义1：对线性时变系统 ，如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态 ，存在一个时刻 ， ，和一个无约束的的

4、容许控制 ， ，使状态由 转移到 时 ，则称此 在时刻 是能控的。,定义2：对线性时变系统 ，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻t0为能控的，那么称系统 在时刻t0是能控的。,定义3：对上述线性时变系统 ，取定初始时刻 ， 如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 是不能控的，则称系统在时刻 是不完全能控的。,定义的几点解释：,(1) 对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；,(2) 容许控制的分量幅值不加限制，且在 上平方可积；,(3) 线性定常系统的能控性与 无关；,8,(4) 如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非零状 态，则称为系统的能达性。,(5) 系统不完全

5、能控为一种“奇异”情况。,3.1.3 定常系统状态能控性判据,考虑线性连续时间系统 (A,B,C,D)： (3.2）,其中,如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔 内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.2）描述的系统在 时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。,且初始条件为 。,9,1. 格拉姆矩阵判据,定理1：格拉姆矩阵判据线性定常系统(3.2)为完全能控的充分必要条件是，存在 ，使如下定义的格拉姆矩阵 (3.3) 非奇异。,证明：充分性：已知 非奇异，欲证系统完全能控。 采用构造法证明，构造的控制量为,在 作用下容易解得：,10,充分

6、性得证。,必要性：已知系统为完全能控，欲证 非奇异。,反证法。反设 为奇异，也即反设存在某个非零 ， 使成立,要使上式成立，应有,另一方面，因系统完全能控，对非零 又成立,由此进而有,11,由此得出,这表明， 的假设是和系统完全能控相矛盾。因此，反设不成立，即 为非奇异。 必要性得证。,又,12,定理2：代数判据线性定常系统(3.2)为完全能控的充分必要条件为 (3.3) 其中，n 为矩阵A 的维数。 (3.4) 称为系统的能控性判别阵。,2. 代数判据,证明: 充分性：已知 ，欲证系统为完全能控。,反证法。反设系统不完全能控，则格拉姆矩阵 奇异。这意味着存在某个非零向量 使成立,13,由此可

7、得 ，,现将上式求导直至 次，再在所得结果中令 ，那么可得到：,进而，表上式为,14,必要性：已知系统完全能控，欲证,反证法。反设 ,这意味着 行线性相关，因此必存在一个非零 维常向量 ，使成立,考虑到问题的一般性，由上式进一步得到,再据凯莱哈密顿定理， ,均可表示为 I，A，A2,An-1 的线性组合，由此得到,由于 ，所以上式意味着 为行线性相关。当 为行线性无关时系统为完全能控。充分性得证,15,这样,表明 为奇异，系统不完全能控，与已知条件矛盾，反设不成立。于是 , 必要性得证。,例3.2 考虑由下式确定的系统：,16,即 QC 为非奇异，因此系统是状态能控的。,例3.3 考虑由下式确

8、定的系统：,即QC为非奇异，因此系统是状态能控的。,3 PBH 判据(由Popov和Belevitch提出,Hautus指出其广泛可应用性。因此以他们姓氏首字母而得名),解 对于该系统，,定理3 (3.2)系统为完全能控的充要条件是，对矩阵A 的所有特征值 均成立,（1）秩判据,17,或等价地,也即 和 是左互质的,证明：必要性：已知系统能控，欲证(3.5)成立。,反证法。反设对某个 ，有 ，,则意味着， 存在一非零向量 ，使成立,考虑到一般性，上式得到,进而，,18,由 的任意性，得到,这表明系统为不完全能控，与已知条件矛盾。反设不成立。,充分性：略。,例3.3 设线性定常系统的状态方程为,

9、可直接导出,19,求出 的特征值为： ， ，,当 时，,20,当 时，,由此可知，系统能控。,同样可得,21,（2）特征向量判据（主要应用于理论分析）,定理4 (3.2)系统为完全能控的充要条件是，矩阵 不能有与 的所有相正交的非零左特征向量。也即对 的任一特征值 ，使同时满足,的特征向量,证明：必要性：反设存在一个向量 ，使成立,则有,这样，,所以 ，系统不能控,与假设矛盾。,充分性：略。,22,3.1.4 状态能控性条件的标准形判据,关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。,考虑如下的线性系统,式中，,如果 的特征

10、向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵 ，使得,注意：如果 A 的特征值相异，那么 A 的特征向量也互不相同；然而，反过来不成立。例如，具有重特征值的 nn 维实对称矩阵也有可能有 n 个互不相同的特征向量。还应注意，矩阵 P 的每一列是与 ( i=1,2, ，n )有联系的 A 的一个特征向量。,23,将式(3.9)代入式(3.8)，可得,定义,则可将式（3.10）重写为：,24,如果式（3.8）中的矩阵 A 不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将 A 化为Jordan标准形。,例如，若A的特征值分别1,1,1,1,1,6, 6，,n,并且有 n 4 个互异

11、的特征向量，那么 A 的 Jordan 标准形为,如果 nr 维矩阵 的任一行元素全为零，那么对应的状态变量就不能由任一 来控制。对于A的特征值为两两互异时，当且仅当输入矩阵 没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态能控的。如果有相同根时则还要满足相同根相对应的输入矩阵 的所有行是行线性无关的。 (注意后一种情况书中没有作说明) 在应用状态能控性的这一条件时，应特别注意，必须将式（3.10）的矩阵 转换成对角线形式。,25,其中，在主对角线上的 55 和 22 子矩阵称为Jordan块。 对于 所包含的33和 22 子矩阵称为Jordan子块,26,假设能找到一个变换矩阵，使得,如果利用,定义

12、一个新的状态向量 ，将式（3.9）代入式（3.6）中，可得到,下面用秩判据导出能控的充要条件,27,选择 得到,其中 ，对以上矩阵进行线性变换为,28,也即 为满秩的充要条件为， 和 线性无关。,29,从而系统的状态能控性条件可表述为：当且仅当 (1) 当矩阵特征值两两相异时，对应于不同特征值的 的每一行的元素不全为零时；,(2) 矩阵J 中不含Jordan子块的每一Jordan块的最后一行对应的 行向量不全为零；,(3) 矩阵J 中同一Jordan块中所有Jordan子块最后一行相对应的 行向量线性无关，则系统是状态能控的。,例3.4 判断下列系统状态是否是能控的：,30,下列系统是状态不完

13、全能控的：,31,3.1.5 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件,状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。,例3.5 考虑下列传递函数：,定理5 状态能控性的充要条件是在输入状态传递函数或传递函数矩阵 中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。,32,在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。,将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。 状态方程为,能控性矩阵的秩 rank(Qc) = 1 ，所以可得到状态不能控的同样结论。,33,3.1.6 输出能控性,在实际的控制系统设计中，也许我们需要控制的

14、是输出，而不是系统的状态。对于控制系统的输出，状态能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定义输出能控性。,考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统,式中，,34,定义4 如果能找到一个无约束的控制向量 ，在有限的时间间隔 内，使任一给定的初始输出 转移到任一最终输出 ，那么称由式（3.13）和（3.14）所描述的系统为输出能控的。,定理6 系统输出能控的充要条件为：当且仅当 m(n+1)r 维输出能控性矩阵,的秩为 m 时，由式（3.13）和（3.14）所描述的系统为输出能控的。,注意：在式（3.14）中存在 DU 项，对确定输出能控性是有帮助的。,35,3.2 线性连续系统的能观

15、测性,3.2.1 能观测性的定义,(3.1)的状态方程可以表示为：,则系统输出,若定义,这样,(3.1)系统的能观测性研究等价于下列系统,36,几种定义：,定义5：如果系统(3.6)的状态 X(t0) 在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻t0 ( ) 是能观测的。,定义6：对(3.6)所示系统，如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态X0，存在一个有限时刻 ，使对所有 ,有Y(t)=0，则称此初始状态X0在时刻t0是不能观测的。,定义7：对(3.6)所示系统，如果对取定初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状态 X0 在时刻t0是不能观测的，则称该系统在时刻t0是不能观

16、测的。,37,对于线性定常系统，考虑零输入时的状态空间表达式：,式中，,如果每一个状态X(t0)都可通过在有限时间间隔t0tt1内由输出Y(t)观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设t0=0。,能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。,38,讨论：,在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（3.20）和（3.21）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表