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1、第4课时 二次函数,1二次函数的解析式有三种常用表达形式 (1)一般式：f(x) ； (2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，(h，k)是顶点； (3)标根式(或因式分解式)：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)；其中x1，x2分别是f(x)0的两实根,基础知识梳理,ax2bxc(a0),2二次函数的图象及其性质,基础知识梳理,基础知识梳理,基础知识梳理,基础知识梳理,思考？,二次函数可以为奇函数吗？ 【思考提示】不会为奇函数,1已知函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的范围是() Af(1)25Bf(1)25 Cf(1)25 Df(1)25 答案：A,三基能力强
2、化,2若函数f(x)ax2bxc满足f(4)f(1)，那么() Af(2)f(3) Bf(3)f(2) Cf(3)f(2) Df(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C,三基能力强化,3已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是() A1，) B0,2 C1,2 D(，2 答案：C,三基能力强化,4抛物线y8x2(m1)xm7 的顶点在x轴上，则m_. 答案：9或25,三基能力强化,利用已知条件求二次函数解析式，常用的方法是待定系数法，但可根据不同的条件选用适当形式求f(x)解析式,课堂互动讲练,1已知三个点坐标时，宜用一般式 2已知抛物线的顶点坐标与对称轴有
3、关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式 3若已知抛物线与x轴有两个交点，且横轴坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便,课堂互动讲练,课堂互动讲练,已知f(x)是二次函数，且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式,求二次函数的最值必须认清定义域区间与对称轴的相对位置以及抛物线的开口方向(即二次函数中二次项系数的正负)，然后借助于二次函数的图象或性质求解因此，定义域、对称轴及二次项系数是求二次函数的最值的三要素,课堂互动讲练,课堂互动讲练,函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t) (1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写
4、出g(t)的最小值,【思路点拨】二次函数的对称轴x2，分情况讨论x2是否在区间t，t1内,课堂互动讲练,【解】(1)f(x)x24x4 (x2)28. 当t2时，f(x)在t，t1上是增函数， g(t)f(t)t24t4； 当t2t1，即1t2时， g(t)f(2)8； 当t12，即t1时，f(x)在t，t1上是减函数， g(t)f(t1)t22t7.,(2)g(t)的图象如图所示 g(t)的最小值为8.,课堂互动讲练,【规律小结】二次函数区间最值主要有三种类型：轴定区间定，轴定区间动和轴动区间定 一般来说，讨论二次函数在闭区间上的最值，主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上，从而应用单
5、调性求最值,课堂互动讲练,若题目变为：已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值 解：函数f(x)x22ax1a (xa)2a2a1 对称轴方程为xa. (1)当a0时，f(x)maxf(0)1a， 1a2，a1.,课堂互动讲练,互动探究,(2)当0a1时，f(x)maxa2a1， a2a12，a2a10， (3)当a1时，f(x)maxf(1)a， a2. 综上可知a1或a2.,课堂互动讲练,二次函数常和二次方程、二次不等式结合在一起 三个“二次”以二次函数为核心，通过二次函数的图象贯穿为一体，因此，解题时通过画二次函数的图象来探索解题思路是非常行之有效的方法,课堂互动讲
6、练,对于通过换元可转化为二次函数的问题，要注意中间变元的取值范围，它是转化后二次函数的定义域,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分12分) 已知二次函数f(x)ax2bx(a，b为常数，且a0)满足条件：f(x5)f(x3)，且方程f(x)x有等根 (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m，n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m，n和3m,3n？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由,课堂互动讲练,【思路点拨】(1)待定系数法(2)二次函数的单调性,【解】(1)依题意，方程f(x)ax2bxx有等根， 则有(b1)20，b1. 2分 又f(x5)f(x3)，
7、 故f(x)的图象关于直线x1对称，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,由知m0或m4， 由知n0或n4.,课堂互动讲练,取m4，n0. 即存在实数m4，n0使f(x)的定义域为4,0，值域为12,0. 12分 【名师点评】解决本题的关键是确定n的范围，从而把定义域m，n“放”在增区间内，问题便可解决,(本题满分10分)已知函数f(x)x22ax2，x5,5 (1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数,课堂互动讲练,高考检阅,解：(1)当a1时， f(x)x22x2(x1)21，x5,5， f(x)的对称轴为x1， x1时，f(x
8、)取最小值1； x5时，f(x)取最大值37. 4分,课堂互动讲练,(2)f(x)x22ax2(xa)22a2的对称轴为xa， f(x)在5,5上是单调函数， a5，或a5， 解得a5，或a5. 10分,课堂互动讲练,1二次函数f(x)ax2bxc(a0)在区间m，n上的最值,规律方法总结,规律方法总结,2注重数形结合，密切联系图象是研究和掌握二次函数性质的基本方法对于二次方程根的分布，需要结合图象，从三个方面考虑：(1)判别式，(2)区间端点函数值的正负，(3)对称轴与区间端点的位置关系二次函数、一元二次方程与一元二次不等式是一个有机整体，用函数思想研究方程和不等式是高考的热点,规律方法总结,
