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1、本单元是在学生已学习了比和比例等知识的基础上进行教学的, 主要让学生结合实际情 境认识成正比例和反比例的量。正、反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应 用, 而且还是今后进一步学习中学数学、物理、化学等知识的重要基础, 因而学好这部分知识 是非常重要的。 通过学习这部分知识, 还可以帮助学生加深对过去学过的数量关系的认识, 使 学生初步学会从变量的角度来认识两个量之间的关系, 从而初步体会函数的思想。本单元的 教学重点是认识正、反比例的意义。 学生已学习了比和比例等知识为本单元的学习奠定了知识基础; 正、反比例的知识在日 常生活和工农业生产中有着广泛的应用, 学生接触到较多的素材,
2、但是缺乏细致、深入的了 解, 这些为本单元的系统学习做了生活经验方面的准备。 1. 使学生结合实际情景认识成正比例和反比例的量, 能根据正、反比例的意义判断两 种相关联的量是否成正比例或反比例。 2. 使学生初步认识正比例的图像是一条直线, 能利用给出的具有正比例关系的数据在 方格纸上画出相应的直线, 能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 3. 使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中,初步体会数量之间的相互依存的关 系, 感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型, 进一步提升思维水平。 4. 使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系, 增强探索数学知识和规律的意识
3、, 养 成积极主动的参与学习活动的习惯, 提高学好数学的自信心。 1. 结合生活中的典型实例, 让学生从“变化”中看到“不变”, 体会并理解正、反比例 的意义。正、反比例的意义比较抽象, 它们都是表示两个相关联的变量之间关系的一种数学 模型。在正比例里, 一种量扩大 ( 或缩小 ), 另一种量也随着扩大( 或缩小 ), 但这两种量中相对 应的两个数的比值是一定的; 在反比例里 , 一种量扩大 ( 或缩小 ), 另一种量反而缩小( 或扩大 ), 但这两种量中相对应的两个数的积是一定的。理解正、反比例的意义, 首先要通过具体的实 例让学生看到两种量的变化情况, 体会正比例和反比例所研究的是两个变量
4、之间的关系, 然 后再引导学生进一步探索两种量在变化过程中存在的规律; 并用关系式来表示出这种规律, 从而帮助学生把握正、反比例概念的本质。 2. 借助直观的图像, 帮助学生进一步认识成正比例量的变化规律, 并为以后的学习做适 当储备。认识正比例的意义之后, 让学生初步认识正比例的图像, 理解图像上点所表示的实际 意义 , 清楚地认识正比例图像的特点, 并借助直观的图像进一步理解两种量同时扩大或缩小 的变化规律。 3. 练习的安排体现一定的层次性, 帮助学生逐步提高判断成正比例、反比例的量的能 力。通过由易到难, 逐渐深入的练习, 有助于学生进一步加深对正、反比例意义的理解,使他 们能够从整体
5、上把握各种量之间的比例关系, 同时进一步提高判断成正比例、反比例的量的 能力。 1 正比例的意义和图像1 课时 2 反比例的意义1 课时 3 大树有多高1 课时 正比例的意义和图像。( 教材第 5660 页) 1. 引导学生理解正比例的意义, 能根据正比例的意义判断两个相关联的量是不是成正比 例。 2. 培养学生的抽象概括能力和分析判断能力。 重点 :引导学生理解正比例的意义。 难点 :引导学生通过观察、发现、思考两种相关联的量的变化规律。 课件。 教师提出如下问题: 已知路程和时间, 怎样求速度 ?已知总价和数量, 怎样求单价 ? 已知工作总量和工作时间, 怎样求工作效率? 1. 教学例 1
6、。 (1) 课件出示 : 一辆汽车 1 小时行驶 80 千米 ,2 小时行驶 160 千米 ,3 小时行驶240千米 ,4 小时行驶320 千米 ,5 小时行驶400 千米 ,6 小时行驶480 千米 ,7 小时行驶560 千米 ,8 小时 行驶 640 千米 出示下表 , 填表。 时间 / 时 路程 / 千米 思考 : 在填表过程中你发现了什么? 教师点拨 : 时间变化 , 路程也随着变化, 我们就说时间和路程是两种相关联的量。 (2) 计算路程与对应时间的比值。 师: 通过计算 , 你发现了什么 ? 教师指出 : 相对应的两个数的比值一样或固定不变, 在数学上叫作一定, 用式子表示它们 的
7、关系是 : 路程 时间 =速度 ( 一定 ) 。( 板书 ) 教师小结 : 时间和路程是两种相关联的量, 路程随着时间的变化而变化, 时间扩大 , 路程 随着扩大 ;时间缩小 , 路程也随着缩小。即 路程 时间 =速度 ( 一定 ) 。 2. 教学教材第57 页的“试一试” 。 (1) 出示表格。 (2) 观察表 , 你发现了什么规律? 写出几组对应的总价和数量的比, 并比较比值的大小。用式子表示它们的关系: 总价 数量 =单 价( 一定 ) 。 (3) 抽象概括正比例的意义。 师: 比较这两道题 , 思考并讨论这两道题有什么共同点。 教师小结并板书: 两种相关联的量, 一种量变化 , 另一种
8、量也随着变化, 如果这两种量中 相对应的两个数的比值( 也就是商 ) 一定 , 这两种量就叫作成正比例的量, 它们的关系叫作成 正比例关系。 (4) 通过例题 , 进一步理解正比例的意义。 (5) 如果用x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定 ), 正比例关系怎样用 字母表示呢 ? ? =k( 一定 ) 根据正比例的意义以及表示正比例的式子想一想: 构成正比例关系的两种量必须具备哪 些条件 ? 3. 教学例 2。 师: 从图中你获得了哪些数学信息? 生: 点A表示 1 小时行 80 千米 , 点B表示 5 小时行 400 千米。 师: 你能根据图中的信息说一说其他各点表示的意义吗?
9、 生:2 小时行 160 千米 ;3 小时行 240千米 ;4 小时行 320 千米 ;6 小时行 480 千米 ,7 小时 行 560 千米。 师: 图中所描的点在一条直线上吗?( 在 ) 根据图中的信息, 你还能知道什么? 学生讨论回答。 生 1: 根据图中信息, 我发现了路程与时间的比值是一定的, 都是 80。 生 2: 当时间变化时, 路程也随之变化。时间和路程是两种相关联的量, 并且比值一定 , 所 以它们成正比例关系。 教师指出 : 路程和时间是相关联的两种量, 并且比值一定。所以, 我们可以判断路程和时 间成正比例关系。 学生独立解答:根据图像判断, 这辆汽车 2.5 小时行驶多
10、少千米?行驶 440 千米需要多少 小时 ? 学生解答后 , 集体反馈 , 并说明理由。 【设计意图 : 认识成正比例的量之后, 引导学生分析 “构成正比例关系的两种量必须具备 的条件”, 既帮助学生巩固了正比例的意义, 学会根据正比例的含义判断两种量是否成正比例 关系 , 又让学生进一步体验生活中成正比例关系存在的数量很多】 师: 在本节课的学习中, 你有哪些收获 ? 学生自由交流各自的收获体会。 正比例的意义和图像 两种相关联的量, 一种量变化 , 另一种量也随着变化, 如果这两种量中相对应的两个数的 比值 ( 也就是商 ) 一定 , 这两种量就叫作成正比例的量, 它们的关系叫作成正比例关
11、系。 路程 时间 =速度 ( 一定 ) ? ? =k( 一定 ) 正比例图像是一条直线。 A类 下图表示每小时行驶60 千米的汽车1 小时、 2 小时、 3 小时所行使的路程。根据图 像判断 , 这辆汽车2.5 小时行驶多少千米?4.5 小时呢 ? ( 考查知识点 : 正比例 ; 能力要求 : 运用正比例知识解决简单的实际问题) B类 下面是甲、乙两个工程队挖水渠进度统计图。 (1) 你认为哪个队施工速度快?为什么 ? (2) 如果丙队每天都挖80 米, 请你在图中画出丙队的施工“线”。 ( 考查知识点 : 正比例 ; 能力要求 : 运用正比例知识解决简单的实际问题) 课堂作业新设计 A类 :
12、 这辆汽车 2.5 小时行驶 150 千米 ,4.5 小时行驶270 千米。 B类 : (1) 我认为甲队的施工速度快, 因为从图上能看出来甲队每天挖水渠40 米, 乙队 2 天才 挖水渠 40 米 , 每天只挖20 米, 所以甲队的施工速度快。 (2) 如图所示 : 教材习题 教材第 57 页“练一练” 1. (1)答案不唯一 , 例如 :25:1=25 50:2=25 100:4=25 比值都相等。 (2) 生产零件的数量和时间成正比例。因为生产零件的数量和时间是两种相关联的量, 一种量变化 , 另一种量也随着变化, 且生产零件的数量时间=每小时生产的零件数量( 一定 ), 也就是比值一定
13、, 所以生产零件的数量与时间成正比例。 2. 做的套数和用布的米数成正比例。因为做的套数和用布的米数是两种相关联的量, 一种量变化 , 另一种量也随着变化, 且用布的米数做的套数=每套用布的米数( 一定 ), 也就 是比值一定 , 所以做的套数和用布的米数成正比例。 教材第 58 页“练一练” (1) 小玲打字的数量和所用的时间成正比例。因为打字的数量和所用的时间是两种相关 联的量 , 一种量变化 , 另一种量也随着变化, 且打字的数量时间=速度 ( 一定 ), 也就是比值一 定, 所以打字的数量与所用时间成正比例。 (2) (3) 小玲 5 分钟可以打字250 个; 打 750 个字需要15
14、 分钟。 教材第 5960 页“练习十” 1. 订阅趣味数学 的总价和数量成正比例。因为总价和数量是两种相关联的量,一种 量变化 , 另一种量也随着变化, 且总价数量 =单价 ( 一定 ), 也就是比值一定, 所以订阅趣味 数学的总价和数量成正比例。 2. 正方形边长 /cm1234 正方形周长 /cm481216 正方形面积 /cm 2 14916 3. (1) 他们骑车行的路程和时间成正比例。因为他们骑车的路程和时间是两种相 关联的量 , 一种量变化 , 另一种量也随着变化, 且路程时间=速度 ( 一定 ), 也就是比值一定, 所以他们骑车的路程和时间成正比例。 (2) 他们 20 分钟大
15、约行5 千米 ; 行 10 千米大约要用37 分钟。 4. (1)10 15 20 25 (2) (3) 购买彩带的总价和长度成正比例。因为总价和长度是两种相关联的量, 一种量变化 , 另一种量也随着变化, 且总价长度=单价 ( 一定 ), 也就是比值一定, 所以购买彩带的总价和 长度成正比例。 (4) 购买 3.5 米彩带需要17.5 元。 5. (1) (2) 物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。因为物体的质量和弹簧伸长的长度是两种 相关联的量 , 一种量变化 ,另一种量也随着变化, 且弹簧伸长的长度物体的质量=挂每千克 物体弹簧伸长的长度( 一定 ), 也就是比值一定, 所以物体的质量和
16、弹簧伸长的长度成正比例。 (3) 如果挂上质量5 千克的物体 , 弹簧应伸长1.25 厘米 ; 要使弹簧伸长4 厘米 , 应挂上 16 千克的物体。 反比例的意义。( 教材第 6162 页) 1. 理解反比例的意义。 2. 能根据反比例的意义, 正确地判断两种量是否成反比例。 重点 : 引导学生总结成反比例的量是相关联的两种量中相对应的两个数的积一定, 进而 抽象概括出成反比例的关系式。 难点 :利用反比例的意义,正确判断两种量是否成反比例。 课件。 下面两种量是不是成正比例?为什么 ? 购买练习本的价钱:0.80元,1 本;1.60元,2 本 ;3.20元,4 本;4.80元,6 本。 成正比例的量有什么特征? 教学例 3, 提出观察思考要求。 (1) 从中你发现了什么?这与复习题相比有什么不同? (2) 学生讨论交流。 引导学生回答: 笔记本的单价扩大, 可购买的数量却缩小; 笔记本数量缩小, 单价却扩大。 表中的两个量是笔记本的数量和单价。每两个相对应的数的乘积都是60。 (3) 教师点拨 :
