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1、四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中,几何体外接球是一个常考的知识点,对于学生来说这是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形的情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。1、 出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体的外接球直径为体对角线长 即【例题】:在四面体中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。解:因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以:四面体外接球的直径为的长即: 所
2、以球的表面积为2、 出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】:已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,且,,求球的体积。解:且,, 因为 所以知所以 所以可得图形为:在中斜边为在中斜边为取斜边的中点,在中在中所以在几何体中,即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。3、 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解【例题】:已知在三棱锥中,求该棱锥的外接球半径。解:由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 设球心坐标为 则,由空间两点间距离公式知 解得 所
3、以半径为【结论】:空间两点间距离公式:4、 四面体是正四面体 处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点,但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形,明确切点和接点的位置及球心的位置,画好截面图是关键,可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题图1例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少? 分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。解:如图1所示,设点是内切球的球心,正四面体棱长为由图形的对称性知,点也是外接球的球心设内切球半径为,外接球半径为正四
4、面体的表面积正四面体的体积, 在中,即,得,得【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为 ( 为正四面体的高),且外接球的半径,从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。例2设棱锥的底面是正方形,且,如果的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.图2解:平面,由此,面面.记是的中点,从而.平面,设球是与平面、平面、平面都相切的球.如图2,得截面图及内切圆不妨设平面,于是是的内心.设球的半径为,则,设,.,当且仅当,即时,等号成立.当时,满足条件的球最大半径为. 练习:一个正四面体内切球的表面积为,求正四面体的棱长。
5、(答案为:)【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置,作出截面图是解题的关键。图3图4图5二、球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球:球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为,球半径为。如图3,截面图为正方形的内切圆,得;2 与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图4作截面图,圆为正方形的外接圆,易得。3 正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图5,以对角面作截面图得,圆为矩形的外接圆,易得。例3.在球面上有四个点、.如果、两两互相垂直,且,那么这个球的表面积是_.解:由已知可得、实际上就是球内接正方体中
6、交于一点的三条棱,正方体的对角线长就是球的直径,连结过点的一条对角线,则过球心,对角线 练习:一棱长为的框架型正方体,内放一能充气吹胀的气球,求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。(答案为)4构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例4.已知三棱柱的六个顶点在球上,又知球与此正三棱柱的5个面都相切,求球与球的体积之比与表面积之比。分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。图6解:如图6,由题意得两球心、是重合的,过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面,设正三棱柱底面边长为,则,正三棱柱的高为,由中,得, ,练习:正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上,求正四棱柱的侧面积的最大值。(答案为:)【点评】“内切”和“外接”等有关问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间关系,然后把相关的元素放到这些关系中解决问题,作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系,是解决这类问题的最佳途径。勾股定理知,假设正四面体的边长为时,它的外接球半径为。